Bài 8. Bài tập cuối chương IX

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác: Trong một tam giác, góc đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn; cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Trong ΔABC, góc A đối diện cạnh BC, không phải AB hay AC. Chỉ so sánh trong cùng một tam giác, hoặc sau khi đã chuyển về cùng tam giác bằng một lập luận hợp lệ.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Từ điểm A ngoài đường thẳng d, hạ AH⊥d. Với B trên d và B khác H, AB gọi là đường xiên; AH là đường vuông góc và là đoạn ngắn nhất nối A tới d. Độ dài AH gọi là khoảng cách từ A tới d.

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại. Suy ra hiệu hai cạnh bất kì nhỏ hơn cạnh còn lại. Với hai cạnh a,b và cạnh thứ ba c: |a−b|<c<a+b. Dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt; bằng nhau cho ba điểm thẳng hàng, không tạo tam giác.

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác: Trung tuyến nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện. Ba trung tuyến gặp nhau ở trọng tâm G. G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 kể từ đỉnh: AG=2GM và AG=2/3 AM nếu AM là trung tuyến. Không nhầm với chia đôi.

Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác: Ba đường trung trực của các cạnh tam giác gặp nhau tại O, O cách đều ba đỉnh: OA=OB=OC. Vị trí O có thể trong, trên hoặc ngoài tam giác tùy loại góc. Trung trực là đường vuông góc với cạnh tại trung điểm, không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện.

Khi biết hai góc, tính góc còn lại rồi xếp các góc theo thứ tự; đổi sang thứ tự các cạnh đối diện. Tam giác có góc tù hoặc vuông thì cạnh đối diện góc ấy dài nhất. Hai cạnh bằng nhau tương ứng hai góc đối diện bằng nhau, liên hệ tam giác cân.

Hình chiếu của đường xiên AB trên d là HB. Hai đường xiên từ cùng A có đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu lớn hơn; hình chiếu bằng nhau thì đường xiên bằng nhau. Phải chung điểm xuất phát và chung đường thẳng nhận hình chiếu.

Để kiểm tra ba độ dài dương, chỉ cần xét tổng hai cạnh nhỏ có lớn hơn cạnh lớn nhất không. Khi tìm cạnh nguyên, dùng cả cận dưới và cận trên. Điều kiện này quyết định khả năng dựng tam giác, không phải số đo góc.

Ba đường phân giác trong gặp nhau tại I; I cách đều ba cạnh, nghĩa là các đoạn vuông góc từ I tới ba cạnh bằng nhau. Đây là tâm đường tròn nội tiếp, không nhất thiết cách đều ba đỉnh. Trung tuyến và phân giác chỉ trùng nhau trong một số tam giác đặc biệt.

Đường cao đi qua đỉnh và vuông góc đường thẳng chứa cạnh đối diện. Ba đường cao gặp nhau ở trực tâm H. Với tam giác vuông, H chính là đỉnh góc vuông; với tam giác tù, phải kéo dài cạnh để vẽ một số đường cao. Không nhầm “cách đều cạnh” của phân giác với “cách đều đỉnh” của trung trực.