Bài 15. Giới hạn của dãy số – Toán 11 — cả hai tập Kết nối tri thức

Mục tiêu bài học

Hiểu và vận dụng giới hạn của dãy số với điều kiện xác định đầy đủ.
Giải thích từng bước suy luận, kiểm tra nghiệm hoặc tính hợp lí và chấp nhận biểu thức tương đương.

Bài giảng

Kiến thức, công thức và điều kiện

$u_n\to L$ nghĩa là từ một chỉ số đủ lớn, mọi $u_n$ đều gần L theo bất kì độ chính xác cho trước. Có $1/n^k\to0$ với $k>0$ ; $q^n\to0$ nếu $|q|<1$ ; dãy hằng c có giới hạn c. Dãy $(-1)^n$ không có giới hạn vì các số hạng luân phiên−1 và 1.

Phương pháp và giới hạn áp dụng

Giới hạn tổng, hiệu, tích bằng tổng, hiệu, tích các giới hạn hữu hạn; giới hạn thương cần mẫu có giới hạn khác 0. Dùng chia cho lũy thừa n cao nhất hoặc nhân liên hợp. Giới hạn vô cực mô tả vượt mọi ngưỡng, không phải một số thực để tính∞−∞hay 0×∞. Nếu $|q|<1$ , tổng vô hạn cấp số nhân $u_1+u_1q+\cdots=u_1/(1-q)$ ; điều kiện này không bỏ được.

Ví dụ

Ví dụ 1
Tính $\lim(3n-2)/(n+5)$ .
Xem lời giảiẨn lời giải
Chia n được(3−2/n)/(1+5/n)→3.

Ghi nhớ

$u_n\to L$ nghĩa là từ một chỉ số đủ lớn, mọi $u_n$ đều gần L theo bất kì độ chính xác cho trước. Có $1/n^k\to0$ với $k>0$ ; $q^n\to0$ nếu $|q|<1$ ; dãy hằng c có giới hạn c. Dãy $(-1)^n$ không có giới hạn vì các số hạng luân phiên−1 và 1.

Bài tập

Đã đúng 0/6 câu

Câu 1Mức 1Trắc nghiệm 1 đáp án
$\lim(3+2/n)$ bằng gì?
Câu 2Mức 1Trắc nghiệm 1 đáp án
Dãy nào có giới hạn 0?
Câu 3Mức 2Trả lời ngắn
Tính $\lim(4n^2+1)/(2n^2-3)$ .
Câu 4Mức 2Trả lời ngắn
Tính tổng vô hạn $3+3/2+3/4+\cdots$ .
Câu 5Mức 2Đúng / Sai nhiều ý
Đánh giá giới hạn dãy.
ÝĐúngSai
a) $1/n\to0$ .
b) $q^n\to0$ với mọi số thực q.
c)Nếu $u_n\to2,v_n\to3$ thì $u_nv_n\to6$ .
d)Có thể luôn lấy thương giới hạn khi mẫu tiến 0.
Câu 6Mức 3Tự luận
Tính $\lim(\sqrt{n^2+4n}-n)$ .
0 từ
0/10 ảnh
Có thể chụp nhiều trang. Ảnh được lưu cùng bài làm và giáo viên sẽ chấm trên ảnh.
Vẽ bài làm
Ảnh bài làm
Cuộn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng to · kéo để di chuyển · phím R để xoay
Câu 7Mức 4Tự luận
Một bạn nói tổng $1+2+4+\cdots$ bằng $1/(1-2)=-1$ . Chỉ điều kiện sai và kết luận đúng về tổng riêng.
0 từ
0/10 ảnh
Có thể chụp nhiều trang. Ảnh được lưu cùng bài làm và giáo viên sẽ chấm trên ảnh.
Vẽ bài làm
Ảnh bài làm
Cuộn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng to · kéo để di chuyển · phím R để xoay
Câu 8Mức 1Trắc nghiệm 1 đáp án
$\lim(5n+1)/(n^2+2)$ bằng gì?