Giáo án Bài 7. Bài tập cuối chương IX

Kích hoạt kiến thức cũ về góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp; xác định nhiệm vụ ôn tập của tiết học.

GV đưa ra bốn khẳng định, HS giơ thẻ Đúng hoặc Sai và giải thích ngắn gọn vì sao:

• Câu 1: Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn không chứa đỉnh của góc.
• Câu 2: Tứ giác có hai góc đối bằng nhau thì nội tiếp.
• Câu 3: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường trung trực.
• Câu 4: Đa giác đều n cạnh có góc ở tâm bằng $\dfrac{360^\circ}{n}$.
  Sau đó GV nêu nhiệm vụ: hệ thống hoá kiến thức, luyện tập và vận dụng.

Đáp án: Câu 1 Đúng. Câu 2 Sai, vì tứ giác nội tiếp phải có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$, không phải hai góc đối bằng nhau. Câu 3 Sai, tâm đường tròn nội tiếp là giao các đường phân giác trong; giao các đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp. Câu 4 Đúng.
Kết quả cần đạt: HS nhận ra các điểm dễ nhầm lẫn và biết mục tiêu của tiết học.

Hệ thống hoá định nghĩa, tính chất góc nội tiếp, góc ở tâm và tứ giác nội tiếp; nêu được dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

Nhóm 4 HS hoàn thành phần A của Phiếu học tập số 1 theo kỹ thuật khăn trải bàn: mỗi HS viết ý kiến của mình vào ô tương ứng trên khăn, sau đó nhóm thống nhất một nội dung chung.
Nhiệm vụ: Điền vào bảng hai cột (góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp) các nội dung về định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết.
Câu hỏi GV đặt ra: Góc nội tiếp chắn cung nào? Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung có quan hệ thế nào? Vì sao tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ thì nội tiếp?

Nội dung HS cần ghi, đối chiếu sau khi báo cáo:

• Góc nội tiếp: có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây; số đo bằng nửa số đo cung bị chắn không chứa đỉnh.
• Góc ở tâm chắn cùng cung có số đo gấp đôi góc nội tiếp.
• Hệ quả: các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
• Tứ giác nội tiếp: có bốn đỉnh trên một đường tròn; tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.
• Dấu hiệu nhận biết: tứ giác lồi có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ thì nội tiếp.

Hệ thống hoá tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; nêu được công thức góc của đa giác đều.

Nhóm 4 HS thực hiện nhiệm vụ theo trạm (ba trạm, mỗi trạm 5 phút, các nhóm quay vòng):

• Trạm 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dựng trung trực của hai cạnh tam giác nhọn, xác định tâm và nêu vì sao tâm cách đều ba đỉnh. Tam giác vuông thì tâm nằm ở đâu?
• Trạm 2: Đường tròn nội tiếp tam giác. Dựng hai đường phân giác, xác định tâm và giải thích vì sao tâm cách đều ba cạnh. Nêu công thức $r=\dfrac{S}{p}$.
• Trạm 3: Đa giác đều. Tính góc ở tâm và góc trong của lục giác đều và ngũ giác đều.
  Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao giao các đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp? Vì sao giao các đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp?

Kết quả cần ghi:

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao các đường trung trực; tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính $R=\dfrac{\text{cạnh huyền}}{2}$.
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao các đường phân giác trong; điểm trên phân giác cách đều hai cạnh của góc nên tâm cách đều ba cạnh; $r=\dfrac{S}{p}$ với $p$ là nửa chu vi.
• Đa giác đều n cạnh: góc ở tâm $\dfrac{360^\circ}{n}$; mỗi góc trong $\dfrac{(n-2)180^\circ}{n}$.
• Lục giác đều: góc ở tâm $60^\circ$, góc trong $120^\circ$. Ngũ giác đều: góc ở tâm $72^\circ$, góc trong $108^\circ$.

Vận dụng tính chất góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp để giải bài tập; trình bày lập luận và kiểm tra điều kiện.

HS làm việc theo cặp đôi trên Phiếu học tập số 2, giải lần lượt bài 1 đến bài 4. Sau mỗi bài, một HS giải thích, bạn còn lại kiểm tra điều kiện và đơn vị.
Câu hỏi GV đặt ra: Dữ kiện nào cho biết tam giác vuông? Vì sao đường chéo hình vuông là đường kính đường tròn? Tổng bốn góc của tứ giác nội tiếp bằng bao nhiêu?
GV kiểm tra nhanh kết quả bằng bài tập tương tác trên NeoEdu nếu thời gian cho phép.

Đáp án và thang điểm (mỗi bài 1 điểm: lập luận đúng 0,5; phép tính hoặc dẫn chứng chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2):

• Bài 1: Vì AB là đường kính nên $\widehat{ACB}=90^\circ$. Theo định lý Pythagore, $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{100-36}=8$.
• Bài 2: Điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Tâm $I$ là giao hai đường phân giác nên cách đều ba cạnh, do đó là tâm đường tròn tiếp xúc ba cạnh tam giác.
• Bài 3: $\widehat{C}=180^\circ-70^\circ=110^\circ$; $\widehat{D}=180^\circ-95^\circ=85^\circ$. Kiểm tra: tổng bốn góc $70^\circ+95^\circ+110^\circ+85^\circ=360^\circ$.
• Bài 4: Đường chéo hình vuông là đường kính, bằng $2R=6$. Cạnh $a=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$. Diện tích $S=a^2=18$.

Củng cố nhanh các công thức về góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, bán kính đường tròn và đa giác đều.

GV chia lớp thành hai đội. Đội nào giơ tay nhanh và trả lời đúng được điểm. Các câu hỏi lần lượt:

• Câu 5: Cung bị chắn $120^\circ$. Góc nội tiếp chắn cung đó bằng bao nhiêu độ?
• Câu 6: Tam giác vuông có cạnh huyền 14. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
• Câu 7: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $\widehat{A}=80^\circ$. Tính $\widehat{C}$.
• Câu 8: Ngũ giác đều có góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?
• Câu 9: Góc nội tiếp bằng $35^\circ$. Cung bị chắn có số đo bằng bao nhiêu độ?
• Câu 10: Tam giác 3, 4, 5 có diện tích 6 và nửa chu vi 6. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng bao nhiêu?

Đáp án:

• Câu 5: $60^\circ$ (vì $120^\circ:2$).
• Câu 6: $R=7$ (vì $14:2$).
• Câu 7: $\widehat{C}=100^\circ$ (vì $180^\circ-80^\circ$).
• Câu 8: $72^\circ$ (vì $360^\circ:5$).
• Câu 9: $70^\circ$ (vì $2\cdot 35^\circ$).
• Câu 10: $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6}{6}=1$.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng tam giác và đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; vận dụng công thức để tính và kiểm tra kết quả.

Tình huống: Gia đình bác An có một mảnh đất hình tam giác vuông với ba cạnh 6 m, 8 m và 10 m. Bác muốn:
(a) Đặt một vòi phun nước ở vị trí cách đều ba cạnh mảnh đất. Vị trí đó cách mỗi cạnh bao nhiêu mét?
(b) Trồng một hàng cây quanh mảnh đất theo đường tròn đi qua ba đỉnh. Bán kính đường tròn đó bằng bao nhiêu mét?
Câu hỏi GV gợi ý: Vị trí cách đều ba cạnh là tâm đường tròn nào? Cạnh huyền của tam giác vuông có vai trò gì với đường tròn ngoại tiếp?
Nhiệm vụ mở rộng về nhà: Giải tương tự với tam giác vuông có cạnh 5 m, 12 m, 13 m.

Lời giải tham khảo:

• Tam giác vuông có $S=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24$ m$^2$, nửa chu vi $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$ m.
• (a) Vị trí cách đều ba cạnh là tâm đường tròn nội tiếp, bán kính $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2$ m. Vòi phun đặt tại tâm đường tròn nội tiếp, cách mỗi cạnh 2 m.
• (b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính $R=\dfrac{10}{2}=5$ m.
  Kiểm tra: $r<R$ và kết quả có đơn vị mét, phù hợp kích thước mảnh đất.