Giáo án Bài 4. Bài tập cuối chương IV

Nhắc lại nhanh các tỉ số lượng giác và hệ thức cơ bản; xác định vấn đề cần giải quyết trong tiết ôn tập.

GV nêu 4 câu hỏi nhanh, HS ghi Đúng/Sai hoặc đáp số vào bảng con:

• Câu 1: Tính $\tan45^\circ$.
• Câu 2: Với góc nhọn α, có luôn $\tan\alpha < 1$ không?
• Câu 3: $\sin25^\circ$ bằng $\cos65^\circ$ không?
• Câu 4: Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh kề nhân $\tan$ của góc đó đúng hay sai?
  Sau đó GV đặt vấn đề: Làm thế nào để từ hai, ba số liệu đã biết chọn đúng một hệ thức để tính đại lượng còn lại và kiểm tra kết quả?

Đáp số dự kiến: Câu 1: 1. Câu 2: Sai (vì $\tan60^\circ=\sqrt{3}>1$). Câu 3: Đúng (vì $25^\circ+65^\circ=90^\circ$). Câu 4: Đúng (cạnh đối = cạnh kề · $\tan$).
Vấn đề cần giải quyết: chọn hệ thức có đúng hai đại lượng đã biết và một đại lượng cần tìm, đồng thời kiểm tra điều kiện của kết quả.

Hệ thống hoá định nghĩa sin, cos, tan, cot; xác định đúng cạnh đối, kề, huyền của từng góc nhọn; nhận biết mối liên hệ giữa tỉ số của hai góc phụ nhau.

HS làm việc nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b, BC = a. Nhóm cần:

• Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền của góc B và góc C.
• Viết sinB, cosB, tanB, cotB và sinC, cosC, tanC, cotC theo a, b, c.
• So sánh sinB với cosC, và tanB với cotC.
• Nêu lí do vì sao sinα < 1 và cosα < 1 với mọi góc nhọn α.

Kết quả trên khăn trải bàn:

• Góc B: cạnh đối là AC = b, cạnh kề là AB = c, cạnh huyền là BC = a. Do đó $\sin B=\dfrac{b}{a}$, $\cos B=\dfrac{c}{a}$, $\tan B=\dfrac{b}{c}$, $\cot B=\dfrac{c}{b}$.
• Góc C: cạnh đối là AB = c, cạnh kề là AC = b. Do đó $\sin C=\dfrac{c}{a}$, $\cos C=\dfrac{b}{a}$, $\tan C=\dfrac{c}{b}$, $\cot C=\dfrac{b}{c}$.
• Nhận xét: $\sin B=\cos C$, $\cos B=\sin C$, $\tan B=\cot C$, $\cot B=\tan C$ (hai góc phụ nhau).
• Lí do: trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất nên cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền, do đó sinα < 1 và cosα < 1.
  Kiến thức HS rút ra: tỉ số lượng giác là tỉ số của hai cạnh, phụ thuộc góc đang xét; sin và cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1.

Hệ thống hoá các hệ thức giữa cạnh và góc; biết chọn hệ thức có đúng hai đại lượng đã biết và một đại lượng cần tìm.

GV dùng cùng hình tam giác ABC vuông tại A ở hoạt động trước. Cả lớp cùng hoàn thành bảng hệ thức theo gợi ý, sau đó làm việc cặp đôi: mỗi cặp chọn một tình huống và viết lí do chọn hệ thức.

• Tình huống 1: biết a và góc B, tìm b.
• Tình huống 2: biết a và góc B, tìm c.
• Tình huống 3: biết c và góc B, tìm b.
  Lưu ý: GV nhắc HS gạch dữ kiện và yêu cầu, ghi công thức kèm điều kiện trước khi thay số.

Các hệ thức cần ghi nhớ (với ΔABC vuông tại A, a = BC, b = AC, c = AB):

• $b=a\sin B=a\cos C$; $c=a\cos B=a\sin C$.
• $b=c\tan B=c\cot C$; $c=b\tan C=b\cot B$.
  Chọn hệ thức: Tình huống 1 dùng $b=a\sin B$ (đã biết a và B; cạnh đối của B là b). Tình huống 2 dùng $c=a\cos B$ (cạnh kề của B là c). Tình huống 3 dùng $b=c\tan B$ (đã biết c và B; cạnh đối là b, cạnh kề là c).
  Kiến thức HS rút ra: mỗi hệ thức chỉ đúng khi cạnh cần tính và cạnh đã biết đều là cạnh đối hoặc kề đúng với góc đã cho; cần đối chiếu hình vẽ trước khi chọn hệ thức.

Củng cố tỉ số lượng giác, hệ thức cạnh – góc và cách kiểm tra đáp án bằng học liệu số.

HS làm việc cá nhân rồi đối chiếu cặp đôi với các bài sau:

• Bài 1: Tính $\tan45^\circ$.
• Bài 2: Máy đo cao 1,5 m so với nền ngang, cách gốc cây 8 m, góc nhìn đến ngọn cây là 45°. Tính chiều cao cây.
• Bài 3: Chọn đáp án đúng cho $\sin25^\circ$ bằng: A. $\sin65^\circ$; B. $\cos65^\circ$; C. $\tan65^\circ$; D. $\cot25^\circ$.
• Bài 4: Đường ngắm dài 10 m tạo góc 60° với phương ngang; khoảng cách ngang là $10\cos60^\circ$ m. Đúng hay sai?
• Bài 5: Với góc nhọn α, xét tính đúng/sai: a) $\sin\alpha<1$; b) $\tan\alpha$ luôn nhỏ hơn 1; c) $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
• Bài 9: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Tính $\cos B$.
• Bài 10: Thang dài 10 m, chân thang trên nền ngang, tạo với nền góc 30°. Tính độ cao đầu thang so với nền.
  Sau đó HS kiểm tra nhanh bằng bài tập tương tác trên trang NeoEdu.

Đáp án và lời giải ngắn:

• Bài 1: $\tan45^\circ=1$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).
• Bài 2: Chiều cao cây = $8\tan45^\circ+1{,}5=8\cdot1+1{,}5=9{,}5$ m.
• Bài 3: Đáp án B, vì $25^\circ+65^\circ=90^\circ$ nên $\sin25^\circ=\cos65^\circ$.
• Bài 4: Đúng, vì cạnh kề của góc 60° là $10\cos60^\circ$ m (bằng 5 m).
• Bài 5: a) Đúng (đối/huyền < 1); b) Sai (vì $\tan60^\circ=\sqrt{3}>1$); c) Đúng (hệ thức cơ bản, suy ra từ định lí Pythagore).
• Bài 9: $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$.
• Bài 10: Độ cao = $10\sin30^\circ=5$ m.
  Kiến thức HS vận dụng: chọn đúng tỉ số theo cạnh đối, kề, huyền và kiểm tra đáp án với hình vẽ.

Vận dụng hệ thức cạnh – góc vào bài toán có nhiều bước; biết kiểm tra điều kiện, đơn vị và độ lớn của kết quả.

HS làm việc nhóm 4, hoàn thành Phiếu học tập số 2 gồm ba bài:

• Bài 6: Dây neo căng thẳng dài 12 m, nối một điểm trên trụ thẳng đứng với một điểm trên nền ngang qua chân trụ, dây nghiêng 60° với nền. Tính độ cao điểm neo trên trụ và khoảng cách từ điểm neo trên đất đến chân trụ.
• Bài 7: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Tính $\tan B$ và $\sin B$.
• Bài 8: Tháp thẳng đứng trên nền ngang. Điểm A cách chân tháp 20 m, góc nhìn từ A đến đỉnh là 45°. Điểm B nằm trên tia từ chân tháp qua A, với AB = 20 m. Tính góc nhìn từ B đến đỉnh, làm tròn đến 0,01°. Bỏ qua chiều cao mắt.
  Yêu cầu: mỗi bài ghi rõ dữ kiện, hệ thức chọn, kết quả và bước kiểm tra điều kiện.

Đáp án và cách kiểm tra:

• Bài 6: Độ cao $h=12\sin60^\circ=6\sqrt{3}\approx10{,}39$ m; khoảng cách $d=12\cos60^\circ=6$ m. Kiểm tra: $h^2+d^2=108+36=144=12^2$.
• Bài 7: $BC=\sqrt{5^2+12^2}=13$; $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{5}=2{,}4$; $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{13}\approx0{,}92$. Kiểm tra: $\cos B=\dfrac{5}{13}$ và $\sin^2B+\cos^2B=1$.
• Bài 8: Chiều cao tháp $h=20\tan45^\circ=20$ m. Tại B, khoảng cách đến chân tháp là 40 m, $\tan\beta=\dfrac{20}{40}=0{,}5$, suy ra $\beta\approx26{,}57^\circ$. Kiểm tra: B ở xa hơn A nên góc nhìn nhỏ hơn 45°, kết quả hợp lí.
  Kiến thức HS rút ra: chọn hệ thức theo đúng hai đại lượng đã biết; kiểm tra kết quả bằng định lí Pythagore, hệ thức cơ bản hoặc so sánh độ lớn góc. Thang điểm tham khảo cho mỗi bài: lập luận đúng 0,5; phép tính chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2.

Vận dụng tỉ số lượng giác để đo chiều cao vật thể thực tế; thể hiện mô hình hoá và kiểm tra kết quả đo.

Nhóm 4 HS dùng giác kế tự làm (thước đo góc, dây dọi, ống hút) và thước dây để đo chiều cao cột cờ hoặc cây trong sân trường. Các bước đo:

• Đo khoảng cách ngang d từ chân vật đến điểm đứng của nhóm.
• Đo góc nhìn α từ mắt đến đỉnh vật.
• Đo chiều cao mắt h₀ của người quan sát.
• Tính chiều cao: $H=d\tan\alpha+h_0$.
  Nhóm ghi số liệu vào bảng và so sánh với kết quả ước lượng của cả lớp.

Ví dụ kết quả mẫu: d = 10 m, α = 40°, h₀ = 1,5 m. Khi đó $H=10\tan40^\circ+1{,}5\approx10\cdot0{,}839+1{,}5\approx9{,}89$ m.
Bảng kết quả nhóm gồm: khoảng cách d, góc α, chiều cao mắt h₀, chiều cao H, và nhận xét về sai số (do đo góc bằng giác kế tự làm, do đứng không đúng vị trí).
Kiến thức HS rút ra: mô hình tam giác vuông cho phép tính chiều cao vật thể không đo trực tiếp được; kết quả cần kiểm tra điều kiện đo và ghi chú sai số.