Giáo án Bài 5. Bài tập cuối chương I

Kích hoạt lại kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của hệ và cách nhận biết hệ có nghiệm hay không; xác định nhiệm vụ ôn tập của hai tiết học.

GV chiếu 4 câu, HS giơ thẻ Đ hoặc S và giải thích ngắn gọn:
Câu 1: Hệ $x+y=1$, $2x+2y=2$ chỉ có một nghiệm.
Câu 2: Với $3x-y=4$ và $y=2$ thì $x=2$.
Câu 3: $x^2+y=3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 4: Cặp $(2;1)$ là nghiệm của hệ $x+y=3$, $2x-y=3$.
Sau đó GV nêu nhiệm vụ của hai tiết: ôn lại kiến thức, luyện các dạng bài trong chương và giải một bài toán thực tế.

Đáp án: Câu 1 Sai (hai phương trình tương đương nên hệ có vô số nghiệm). Câu 2 Đúng (thế $y=2$ được $3x=6$, $x=2$). Câu 3 Sai (có $x^2$ nên không phải bậc nhất hai ẩn). Câu 4 Đúng ($2+1=3$ và $2\cdot 2-1=3$). HS nêu được lý do cho từng câu và ghi nhận nhiệm vụ ôn tập của hai tiết học.

Hệ thống hoá định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm, tập nghiệm là đường thẳng và lưu ý về thứ tự của cặp nghiệm.

Chia lớp thành 4 nhóm. Mỗi nhóm nhận một ô của khăn trải bàn gồm 4 nội dung: (1) Dạng tổng quát và điều kiện của $a,b$; (2) Nghiệm là cặp có thứ tự $(x;y)$, ví dụ kiểm tra $(2;1)$ với $x+y=3$; (3) Tập nghiệm biểu diễn bởi đường thẳng; (4) Đổi thứ tự cặp số có thể làm mất tính đúng. Nhóm trả lời các câu hỏi: Vì sao cần điều kiện $a,b$ không đồng thời bằng 0? Vì sao $(1;2)$ và $(2;1)$ không cùng là nghiệm của $x+2y=5$? Vẽ minh hoạ bằng một đường thẳng cụ thể.

Sơ đồ hệ thống trên khăn trải bàn gồm: dạng $ax+by=c$ với điều kiện $a,b$ không đồng thời bằng 0; ví dụ kiểm tra $(2;1)$ với $x+y=3$ đúng vì $2+1=3$; tập nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn là một đường thẳng; với $x+2y=5$, cặp $(1;2)$ đúng vì $1+4=5$, còn đổi thành $(2;1)$ thì $2+2=4\ne 5$ nên sai. Kết luận: nghiệm phải ghi đúng thứ tự $(x;y)$.

Vận dụng phương pháp thế và phương pháp cộng để giải hệ; nhận biết hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm qua phép nhân phương trình với hằng số.

Lớp chia 3 nhóm, mỗi nhóm đi qua 3 trạm, mỗi trạm 6 phút. Trạm 1 (phương pháp thế): giải hệ $x+y=7$, $2x-y=5$ bằng cách rút $y=7-x$ rồi thay vào phương trình thứ hai. Trạm 2 (phương pháp cộng): giải hệ $2x-3y=1$, $4x+3y=17$ bằng cách cộng hai vế. Trạm 3 (nhận biết số nghiệm): xét hệ $x-2y=3$, $2x-4y=8$ và hệ $x+y=3$, $2x+2y=6$, nhân phương trình đầu với hằng số thích hợp để so sánh và kết luận số nghiệm. Các nhóm ghi kết quả vào phiếu học tập số 1.

Trạm 1: Từ $y=7-x$ thay vào được $2x-(7-x)=5$, suy ra $3x=12$, $x=4$, $y=3$. Thử lại: $4+3=7$, $8-3=5$ đúng. Trạm 2: Cộng được $6x=18$, $x=3$; thế vào $2\cdot 3-3y=1$ được $y=\dfrac{5}{3}$. Thử lại: $4\cdot 3+3\cdot\dfrac{5}{3}=17$ đúng. Trạm 3: Nhân dòng đầu của hệ thứ nhất với 2 được $2x-4y=6\ne 8$, nên hệ vô nghiệm. Hệ thứ hai: dòng thứ hai gấp đôi dòng đầu, mọi cặp $(t;3-t)$ đều là nghiệm nên hệ có vô số nghiệm.

Nắm quy trình giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: chọn ẩn kèm đơn vị và điều kiện, chuyển quan hệ bằng lời thành phương trình, giải và đối chiếu điều kiện.

GV trình chiếu ví dụ: Hai loại vé giá 20 nghìn đồng và 30 nghìn đồng. Bán 10 vé thu được 240 nghìn đồng. Tìm số vé mỗi loại. HS cùng GV thực hiện: gọi số vé loại một là $x$, loại hai là $y$ ($x,y$ là số nguyên không âm); lập $x+y=10$ và $20x+30y=240$; giải và đối chiếu điều kiện. Sau đó GV hỏi: Vì sao phải ghi điều kiện nguyên không âm? Nếu nghiệm là $y=4{,}5$ thì có nhận được không?

Quy trình gồm 4 bước: (1) Chọn ẩn $x$, $y$ và ghi điều kiện nguyên không âm; (2) Lập hệ $x+y=10$, $20x+30y=240$; (3) Giải: trừ 20 lần dòng đầu cho dòng hai được $10y=40$, suy ra $y=4$, $x=6$; (4) Đối chiếu: $6+4=10$ và $20\cdot 6+30\cdot 4=240$ đúng, số vé là số nguyên không âm nên nhận. Kết luận: có 6 vé loại 20 nghìn đồng và 4 vé loại 30 nghìn đồng. Với $y=4{,}5$ thì không nhận vì số vé phải là số nguyên.

Củng cố nhận biết phương trình bậc nhất hai ẩn, số nghiệm của hệ và kiểm tra nghiệm bằng cách thay số qua các bài tập 1, 2, 4, 7, 8, 10.

Cặp đôi làm lần lượt: Bài 1: Hệ $x+y=2$, $2x+2y=5$ có bao nhiêu nghiệm? A. 0; B. 1; C. 2; D. Vô số. Bài 2: Hệ $x+y=1$, $2x+2y=2$ chỉ có một nghiệm (đúng hay sai?). Bài 4: Với $3x-y=4$ và $y=2$, tìm $x$. Bài 7: Giải thích vì sao hệ $x+y=3$, $2x+2y=6$ có vô số nghiệm. Bài 8: Giải hệ $x-2y=3$, $2x-4y=8$. Bài 10: Phương trình nào là bậc nhất hai ẩn? A. $x^2+y=3$; B. $0x+0y=1$; C. $2x-3y=5$; D. $xy=2$. Một bạn đọc đề, bạn kia trả lời và giải thích, sau đó đổi vai.

Đáp án: Bài 1 chọn A, vì nhân phương trình đầu với 2 được $2x+2y=4\ne 5$ nên hệ vô nghiệm. Bài 2: Sai, hệ có vô số nghiệm. Bài 4: $x=2$. Bài 7: dòng thứ hai gấp đôi dòng đầu nên mọi cặp $(t;3-t)$ đều là nghiệm. Bài 8: nhân dòng đầu với 2 được $2x-4y=6\ne 8$ nên hệ vô nghiệm. Bài 10: chọn C, vì hai hệ số $2$ và $-3$ là hằng số, không có bình phương hay tích ẩn.

Vận dụng phương pháp thế, phương pháp cộng và lập hệ để giải các bài tập 3, 5, 6, 9, đồng thời kiểm tra điều kiện của bài toán.

Nhóm 4 người làm phiếu học tập số 2 gồm bốn câu: Bài 3: Có 20 con gà và thỏ, tổng 56 chân. Tìm số thỏ. Bài 5: Giải hệ $2x-3y=1$, $4x+3y=17$. Bài 6: Hai vòi có tổng lưu lượng 15 lít/phút; vòi một hơn vòi hai 3 lít/phút. Tìm lưu lượng từng vòi. Bài 9: Trộn 100 g dung dịch muối 10% với dung dịch muối 20% để được dung dịch muối 15%. Cần thêm bao nhiêu gam dung dịch 20%? Mỗi nhóm trình bày lời giải có đặt ẩn, lập hệ, giải, thử lại.

Bài 3: Gọi số thỏ là $y$, ta có $2(20-y)+4y=56$, suy ra $y=8$. Bài 5: $x=3$, $y=\dfrac{5}{3}$; thử lại $4\cdot 3+3\cdot\dfrac{5}{3}=17$ đúng. Bài 6: $x+y=15$, $x-y=3$ suy ra $x=9$ và $y=6$ lít/phút; cả hai đều dương. Bài 9: gọi $y>0$ là khối lượng cần thêm, lập $10+0{,}2y=0{,}15(100+y)$, suy ra $0{,}05y=5$, $y=100$ g; thử lại: muối $10+20=30$ g, tổng $200$ g, $\dfrac{30}{200}=15\%$ đúng.

Vận dụng toàn bộ quy trình lập và giải hệ phương trình vào một tình huống mua bán gần gũi, rèn tư duy mô hình hoá và kiểm tra tính hợp lý của kết quả.

Một quán nước bán hai loại: loại 1 giá 15 nghìn đồng mỗi ly, loại 2 giá 20 nghìn đồng mỗi ly. Hôm nay quán bán được 30 ly và thu về 510 nghìn đồng. Hỏi mỗi loại bán được bao nhiêu ly? HS làm theo nhóm đôi, trình bày đủ 4 bước và thử lại bằng tổng tiền. Về nhà, HS tự chọn một tình huống trong đời sống (mua vé, mua vật liệu, trộn dung dịch) và lập đề bài có hai ẩn để bạn giải.

Gọi số ly loại 1 là $x$, loại 2 là $y$, với $x,y$ là số nguyên không âm. Lập hệ $x+y=30$, $15x+20y=510$. Giải: $15(30-y)+20y=510$ suy ra $5y=60$, $y=12$, $x=18$. Thử lại: $18+12=30$ và $18\cdot 15+12\cdot 20=270+240=510$ đúng. Kết luận: loại 1 bán 18 ly, loại 2 bán 12 ly.