Giáo án Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Huy động kiến thức về tích bằng 0 và xác định vấn đề: giải phương trình có dạng tích và phương trình có ẩn ở mẫu.

GV đưa ra câu hỏi: Hai số $a$ và $b$ có tích $a\cdot b=0$ khi nào? Sau đó yêu cầu HS giải nhanh $3(x-2)=9$ và cho biết nghiệm dương của $(x-3)(x+2)=0$. Từ đó nêu vấn đề: Làm thế nào để giải phương trình có vế trái là tích các biểu thức chứa ẩn, và phương trình có ẩn ở mẫu?

HS trả lời: $a\cdot b=0$ khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0$. Nghiệm của $3(x-2)=9$ là $x=5$. Nghiệm dương của $(x-3)(x+2)=0$ là $x=3$ (nghiệm còn lại là $x=-2$). HS nêu được vấn đề cần giải quyết của bài: đưa phương trình tích và phương trình ẩn ở mẫu về phương trình bậc nhất đã biết cách giải.

HS nêu và vận dụng được tính chất $A(x)\cdot B(x)=0 \Leftrightarrow A(x)=0$ hoặc $B(x)=0$; nhận ra lỗi làm mất nghiệm khi rút gọn một nhân tử bằng 0.

HS làm việc cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (1) Giải $(x-2)(3x+6)=0$ và nêu nhận xét về cách tìm nghiệm. (2) Phân tích bạn An giải $x(x-3)=0$ bằng cách chia hai vế cho $x$ và nhận xét. (3) Rút ra cách giải phương trình tích và viết kết luận chung.

(1) Giải: $x-2=0$ hoặc $3x+6=0$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$; tập nghiệm $S=\{2;-2\}$.
(2) Chia hai vế cho $x$ được $x-3=0$, chỉ được nghiệm $x=3$, mất nghiệm $x=0$. Lời giải của An sai.
(3) Kết luận: $A(x)\cdot B(x)=0 \Leftrightarrow A(x)=0$ hoặc $B(x)=0$. Không rút gọn nhân tử chứa ẩn trong phương trình tích; nếu đưa được về tích thì giải từng nhân tử rồi gộp nghiệm.

HS trình bày được các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với mẫu chung, giải và đối chiếu điều kiện để kết luận.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2. Nhóm giải phương trình $\dfrac{x+1}{x-2}=2$, sau đó giải $\dfrac{x^2-1}{x-1}=3$ và phương trình $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{2x-2}$. Nhóm điền bảng tóm tắt các bước giải theo quy trình: điều kiện xác định, nhân với mẫu chung, giải, đối chiếu.

(1) $\dfrac{x+1}{x-2}=2$: điều kiện $x\neq 2$; nhân hai vế với $x-2$ được $x+1=2x-4$, suy ra $x=5$ (thỏa điều kiện). Tập nghiệm $S=\{5\}$.
(2) $\dfrac{x^2-1}{x-1}=3$: điều kiện $x\neq 1$; vì $x^2-1=(x-1)(x+1)$ nên với $x\neq 1$ ta có $x+1=3$, suy ra $x=2$ (thỏa điều kiện). Tập nghiệm $S=\{2\}$.
(3) $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{2x-2}$: điều kiện $x\neq 1$; vì $2x-2=2(x-1)$ nên phương trình thành $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$, đúng với mọi $x\neq 1$. Tập nghiệm $S=\{x\mid x\neq 1\}$.
Bảng tóm tắt: (a) Tìm ĐKXĐ: mẫu khác 0. (b) Nhân hai vế với mẫu chung. (c) Giải phương trình nhận được. (d) Loại nghiệm không thỏa ĐKXĐ, kết luận. Lưu ý: mẫu bằng 0 thì không thể chấp nhận nghiệm dù tử cũng bằng 0.

HS củng cố giải phương trình tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu, nhận biết và sửa được lỗi sai thường gặp.

Lớp chia thành 3 nhóm, luân phiên qua 3 trạm trong 8 phút mỗi trạm (có thể dùng bài tập tương tác trên NeoEdu để kiểm tra đáp án). Trạm 1 (Phiếu học tập số 3, phần A): bài 1, 2, 6 về phương trình tích và nghiệm. Trạm 2 (phần B): bài 3, 4, 7 về điều kiện và phương trình có ẩn ở mẫu. Trạm 3 (phần C): bài 5, 8 về lỗi sai và trường hợp đặc biệt. Mỗi trạm, nhóm ghi kết quả lên bảng phụ và đánh dấu câu đúng, sai.

Trạm 1: (1) Nghiệm dương của $(x-3)(x+2)=0$ là $3$. (2) $3(x-2)=9$ cho $x=5$. (6) Nghiệm âm của $(2x+8)(x-5)=0$ là $-4$.
Trạm 2: (3) Điều kiện của $\dfrac{1}{x-4}$ là $x\neq 4$, đáp án C. (4) $\dfrac{x+1}{x-2}=2$ có nghiệm $x=5$ (thỏa $x\neq 2$). (7) $\dfrac{x^2-1}{x-1}=3$ có nghiệm $x=2$.
Trạm 3: (5) Khẳng định “phương trình $x(x-3)=0$ chỉ có nghiệm $x=3$” là sai, vì còn nghiệm $x=0$. (8) $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{2x-2}$ đúng với mọi $x\neq 1$, tập nghiệm $S=\{x\mid x\neq 1\}$.
Kết quả tổng hợp: các câu đúng, sai và lỗi thường gặp được GV ghi vào bảng cuối tiết.

HS vận dụng phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán thực tế và kiểm tra nghiệm có ý nghĩa trong bối cảnh.

GV nêu tình huống: Lớp 9A góp 360 000 đồng để mua vở, số tiền chia đều cho $x$ học sinh (với $x$ là số nguyên dương). (1) Nếu mỗi bạn đóng 24 000 đồng, tìm số học sinh của lớp. (2) Nếu mỗi bạn đóng 30 000 đồng, tìm số học sinh. Yêu cầu HS lập phương trình, nêu điều kiện và kiểm tra nghiệm có phù hợp với bối cảnh không.

(1) Lập phương trình $\dfrac{360\,000}{x}=24\,000$, điều kiện $x\neq 0$ và $x$ nguyên dương. Suy ra $x=15$, thỏa điều kiện. Lớp có 15 học sinh.
(2) Lập phương trình $\dfrac{360\,000}{x}=30\,000$, suy ra $x=12$, thỏa điều kiện. Lớp có 12 học sinh.
Kết luận: nghiệm của phương trình chứa ẩn ở mẫu phải thỏa điều kiện mẫu khác 0 và phù hợp với ý nghĩa thực tế.