Giáo án Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

HS nhớ lại quan hệ thứ tự của các số trên trục số và nhận ra cần tìm quy tắc giữ hay đổi chiều bất đẳng thức khi thực hiện phép toán.

GV đưa ra câu hỏi: Cho $a<b$, hãy so sánh $a$ và $b$ trên trục số. Sau đó GV hỏi tiếp: Nếu cùng cộng thêm 3 vào hai vế thì quan hệ có thay đổi không? Nếu nhân hai vế với $-2$ thì sao? HS thử với hai số cụ thể, ví dụ $a=1$, $b=4$, để trả lời.

HS nêu được: với $a=1<b=4$ thì trên trục số $1$ nằm bên trái $4$. Khi cộng $3$: $4<7$ vẫn đúng. Khi nhân $-2$: $-2>-8$, chiều bất đẳng thức đã đổi. Từ đó HS đặt câu hỏi: khi nào giữ chiều, khi nào đổi chiều?

HS phát biểu được tính chất cộng với cùng một số, tính chất nhân với số dương và số âm; vận dụng để so sánh biểu thức dạng $-3a+2$ với $-3b+2$.

Nhóm 4 HS thực hiện Phiếu học tập số 1 theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi HS điền một ô trong phần của mình, sau đó thảo luận để thống nhất kết luận chung.
Nhiệm vụ: (1) Cho $a<b$, so sánh $a+c$ và $b+c$ với $c=3$ và $c=-5$. (2) Cho $a<b$, so sánh $ac$ và $bc$ với $c=2$ và $c=-3$. (3) Từ $a<b$, suy ra $-3a+2$ so với $-3b+2$.

Kết luận HS rút ra:

• Nếu $a<b$ thì $a+c<b+c$ với mọi số $c$.
• Nếu $c>0$ và $a<b$ thì $ac<bc$.
• Nếu $c<0$ và $a<b$ thì $ac>bc$; khi nhân hoặc chia với số âm phải đảo chiều bất đẳng thức.
• Ví dụ: từ $a<b$ suy ra $-3a>-3b$ (đảo chiều), rồi $-3a+2>-3b+2$ (cộng $2$ giữ chiều).

HS giải thích được $x^2\geq 0$ với mọi số thực, dùng $(x-y)^2\geq 0$ để chứng minh $x^2+y^2\geq 2xy$ và nhận ra dấu bằng xảy ra khi $x=y$.

Nhóm cặp đôi thực hiện Phiếu học tập số 2:
(1) Với mọi số thực $x$, so sánh $x^2$ với $0$. Giải thích vì sao.
(2) Từ $(x-y)^2\geq 0$, khai triển và chuyển vế để chứng minh $x^2+y^2\geq 2xy$.
(3) Khi nào dấu bằng xảy ra?
(4) Dùng kết quả (2) để chứng minh nhanh: với $x=3$, $y=-1$, kiểm tra bất đẳng thức bằng số.

Kết quả HS cần đạt:

• $x^2\geq 0$ với mọi số thực $x$ vì bình phương của mọi số thực đều không âm (số $0$ khi $x=0$).
• Từ $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\geq 0$, suy ra $x^2+y^2\geq 2xy$.
• Dấu bằng xảy ra khi $(x-y)^2=0$, tức là $x=y$.
• Kiểm tra: $x=3$, $y=-1$: $x^2+y^2=10$, $2xy=-6$, $10\geq -6$ đúng.
• Quan niệm cần tránh: không suy ra $a^2<b^2$ từ $a<b$ khi $a$ và $b$ có thể âm.

HS vận dụng tính chất bất đẳng thức và kiến thức về bình phương để giải nhanh các bài trắc nghiệm, đúng sai và tìm giá trị nhỏ nhất.

Trò chơi 'Ai nhanh hơn' theo nhóm. GV chiếu lần lượt các câu sau, nhóm thảo luận 1 phút rồi giơ bảng đáp án:
(1) Nếu $a<b$ thì: A. $-2a<-2b$; B. $a+5<b+5$; C. $a-5>b-5$; D. $a^2<b^2$. Chọn đáp án đúng.
(2) Tìm giá trị nhỏ nhất của $(x-3)^2+2$.
(3) Xét các nhận định: a) $-5<-2$; b) $(-5)^2<(-2)^2$; c) Nếu $a>b$ thì $-a<-b$. Ghi Đ hoặc S.
(4) Với $x\geq 0$, bất đẳng thức nào đúng? A. $x+2<0$; B. $-x>0$; C. $x^2\geq 0$; D. $x^2<0$.
(5) Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2-4x+7$.
(6) Sắp xếp tăng dần: $3$, $-2$, $0$, $-7$.
(7) Biết $2<a<4$, tìm khoảng chứa $-3a+1$.

Đáp án và lời giải tóm tắt:
(1) Đáp án B. Cộng cùng một số giữ chiều; A sai vì nhân $-2$ phải đổi chiều; C sai vì $a-5<b-5$; D sai vì $a^2<b^2$ không luôn đúng (ví dụ $-3<1$ nhưng $9>1$).
(2) Giá trị nhỏ nhất là $2$, đạt khi $x=3$, vì $(x-3)^2\geq 0$.
(3) a) Đ ($-5<-2$); b) S, vì $(-5)^2=25>4=(-2)^2$; c) Đ, vì $25>4$ và nhân $-1$ đảo chiều.
(4) Đáp án C, vì bình phương mọi số thực không âm.
(5) $x^2-4x+7=(x-2)^2+3\geq 3$; giá trị nhỏ nhất là $3$ khi $x=2$.
(6) $-7<-2<0<3$.
(7) Từ $2<a<4$: nhân $-3$ đảo chiều: $-12<-3a<-6$; cộng $1$: $-11<-3a+1<-5$.

HS vận dụng bất đẳng thức để mô hình hoá và ước lượng khoảng giá trị của một đại lượng trong tình huống đo đạc thực tế, đồng thời trình bày lời giải có điều kiện rõ ràng.

Tình huống: Một nhóm học sinh đo độ dài cạnh $a$ (đơn vị dm) của một mẫu gỗ và biết $2<a<4$. Đại lượng $T=-3a+1$ được dùng để điều chỉnh thông số máy cắt. Nhiệm vụ: (1) Tìm khoảng chứa $T$. (2) Giải thích vì sao khi nhân với $-3$ phải đổi chiều. (3) Viết một kết luận ngắn về giá trị $T$ có thể nhận.

Lời giải mẫu:

• Từ $2<a<4$, nhân $-3$ (số âm, đổi chiều): $-12<-3a<-6$.
• Cộng $1$: $-11<-3a+1<-5$, tức $T$ nằm trong khoảng $(-11;\,-5)$.
• Giải thích: số âm làm đảo thứ tự, nên cạnh $a$ càng lớn thì $T$ càng nhỏ.
• Kết luận: Giá trị $T$ luôn nằm giữa $-11$ và $-5$, không bao giờ đạt $-5$ hoặc $-11$.