Giáo án Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

HS nhận ra một tình huống có hai đại lượng chưa biết cần được biểu diễn bằng hai phương trình, từ đó mở đầu nhu cầu học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

HS đọc đề: Hai loại vé giá 20 nghìn đồng và 30 nghìn đồng. Bán 10 vé thu được 240 nghìn đồng. Tìm số vé mỗi loại.
Câu hỏi GV đặt ra: (1) Đề bài có những đại lượng nào chưa biết? (2) Nếu chỉ dùng quan hệ tổng số vé là 10 thì đã xác định được số vé mỗi loại chưa? (3) Cần thêm quan hệ nào từ đề bài?

Hai đại lượng chưa biết: số vé giá 20 nghìn đồng (đặt là x) và số vé giá 30 nghìn đồng (đặt là y).
Chỉ có $x+y=10$ thì chưa xác định được duy nhất x và y (có nhiều cặp thoả mãn).
Cần thêm quan hệ tiền: $20x+30y=240$. Hai phương trình cùng xét đồng thời tạo thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

HS chọn được hai ẩn kèm đơn vị và điều kiện; chuyển đúng các quan hệ tổng, hiệu, tiền, chu vi thành phương trình.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Phần A: chọn ẩn, ghi đơn vị và điều kiện cho hai ẩn của đề bài vé. Phần B: chuyển bốn quan hệ bằng lời sang phương trình (xem nội dung phiếu).

Phần A: Gọi x là số vé giá 20 nghìn đồng, y là số vé giá 30 nghìn đồng; đơn vị là vé; điều kiện x, y là số nguyên không âm.
Phần B: Hai số có tổng 18 và hiệu 4 cho $x+y=18$ và $x-y=4$. Tiền bán vé: $20x+30y=240$. Chu vi hình chữ nhật 34 m, dài hơn rộng 5 m cho $d+r=17$ và $d-r=5$ (với $d$ là chiều dài, $r$ là chiều rộng, đơn vị mét). Tiền mua bút và vở: $5x+8y=90$ khi x là số bút 5 nghìn đồng và y là số vở 8 nghìn đồng.
Kết luận: Mỗi quan hệ bằng lời đều được chuyển thành một phương trình khi nhân đúng số lượng với đơn giá hoặc cộng, trừ đúng các đại lượng cùng loại.

HS giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng hoặc thế, đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn và trình bày kết luận bằng lời.

GV trình bày Ví dụ: Hai loại vé giá 20 và 30 nghìn đồng. Bán 10 vé thu 240 nghìn đồng. Tìm số vé mỗi loại. Nhóm 4 dùng khăn trải bàn chia làm bốn ô: (1) Chọn ẩn và lập hệ; (2) Giải hệ; (3) Đối chiếu nghiệm với điều kiện; (4) Thử lại và trả lời. Nhóm thực hiện lời giải của ví dụ theo bốn ô, sau đó thử lại bằng cách thay vào đề bài.

Lời giải mẫu: Gọi x, y là số vé giá 20 nghìn và 30 nghìn (x, y nguyên không âm). Hệ: $x+y=10$; $20x+30y=240$.
Trừ 20 lần phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: $10y=40$, suy ra $y=4$; thay vào $x+y=10$ được $x=6$.
Đối chiếu: x = 6 và y = 4 đều là số nguyên không âm, thoả điều kiện.
Thử lại: $6 \cdot 20+4 \cdot 30=120+120=240$ (nghìn đồng), đúng với đề.
Trả lời: Có 6 vé giá 20 nghìn đồng và 4 vé giá 30 nghìn đồng.

HS nêu được các công thức liên hệ đại lượng trong bài năng suất, chuyển động và nồng độ dung dịch, và biết kiểm tra đơn vị trước khi lập phương trình.

HS làm việc cặp đôi với Phiếu học tập số 2: điền bảng gồm ba cột (Dạng bài; Công thức liên hệ; Lưu ý đơn vị), sau đó nêu một ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng.

Năng suất: lượng việc = năng suất × thời gian; lưu ý cùng đơn vị thời gian (giờ, phút).
Chuyển động: quãng đường = vận tốc × thời gian; lưu ý đơn vị km, giờ hoặc m, giây.
Nồng độ: khối lượng chất tan = $\dfrac{C\% \cdot m_{\text{dd}}}{100}$; lưu ý phải đổi phần trăm thành phân số khi tính, ví dụ $10\%=\dfrac{10}{100}$.
Không cộng hai đại lượng khác đơn vị (ví dụ không cộng giờ với phút, không cộng gam với phần trăm).

HS vận dụng đúng việc chọn ẩn, lập hệ và giải hệ với các bài toán tổng–hiệu, tiền bạc, số lượng, chu vi.

HS làm các bài sau theo cặp (có thể làm trên học liệu NeoEdu phần bài tập tương tác):

• Bài 1: Hai số có tổng 18 và hiệu 4. Tìm số lớn.
• Bài 2: Cũng với đề bài 1, tìm số nhỏ.
• Bài 4: Chu vi hình chữ nhật 34 m, chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tìm chiều rộng.
• Bài 5: Gọi x là số bút 5 nghìn đồng, y là số vở 8 nghìn đồng. Tổng tiền 90 nghìn đồng là phương trình nào? A. $5x+8y=90$; B. $8x+5y=90$; C. $x+y=90$; D. $5x-8y=90$.
• Bài 6: Có 20 con gà và thỏ, tổng 56 chân. Tìm số thỏ.

Bài 1: Số lớn là 11 (từ $x+y=18$, $x-y=4$ suy ra $2x=22$).
Bài 2: Số nhỏ là 7 (18 − 11 = 7).
Bài 4: Chiều rộng là 6 m (từ $d+r=17$, $d-r=5$ suy ra $2r=12$).
Bài 5: Đáp án A, $5x+8y=90$, vì mỗi số lượng nhân đúng đơn giá.
Bài 6: Có 8 con thỏ (từ $x+y=20$ và $4y+2x=56$, hoặc $2(20-y)+4y=56$ suy ra $2y=16$).

HS vận dụng lập hệ phương trình cho bài toán vé có thêm dữ kiện, bài lưu lượng vòi nước và bài pha trộn dung dịch; kiểm tra điều kiện và trình bày kết luận bằng lời.

HS làm theo nhóm 4 các bài sau:

• Bài 3: 10 vé giá 20 nghìn và 30 nghìn đồng, tổng tiền 260 nghìn đồng. Có bao nhiêu vé 30 nghìn đồng?
• Bài 7: Hai vòi cùng chảy có tổng lưu lượng 15 lít/phút. Vòi một chảy nhiều hơn vòi hai 3 lít/phút. Tìm lưu lượng mỗi vòi.
• Bài 8: Trộn 100 g dung dịch muối 10% với dung dịch muối 20% để được dung dịch muối 15%. Cần thêm bao nhiêu gam dung dịch 20%?
  Nhóm thống nhất lời giải, một HS trình bày trên bảng nhóm.

Bài 3: Đặt y là số vé 30 nghìn đồng; $20(10-y)+30y=260$, suy ra $10y=60$, $y=6$. Có 6 vé giá 30 nghìn đồng.
Bài 7: Gọi x, y (lít/phút) là lưu lượng vòi một và vòi hai; $x+y=15$; $x-y=3$; suy ra $x=9$, $y=6$. Cả hai giá trị đều dương và đúng tổng, hiệu: vòi một 9 lít/phút, vòi hai 6 lít/phút.
Bài 8: Gọi y > 0 (gam) là khối lượng dung dịch 20% cần thêm. Lượng muối: $10+0{,}2y=0{,}15(100+y)$, suy ra $0{,}05y=5$, $y=100$. Cần thêm 100 g dung dịch 20%.
Thang đánh giá: lập luận đúng 0,5 điểm; phép tính chính xác 0,3 điểm; diễn đạt và kết luận 0,2 điểm.

HS vận dụng mô hình hệ phương trình vào tình huống thực tế quen thuộc: tự đặt đề, giải và kiểm tra đề của bạn.

Mỗi nhóm chọn một hoá đơn hoặc tình huống mua sắm thực tế (mua vở, bút, nước uống, vé xem phim) có hai loại hàng, cho biết số lượng tổng, tổng tiền và giá từng loại. Nhóm viết đề bài, đặt ẩn, lập hệ, giải, đối chiếu điều kiện và đổi đề cho nhóm bạn để kiểm tra.
Ví dụ mẫu: Mua tổng cộng 6 quyển vở, gồm vở loại A giá 6 nghìn đồng và vở loại B giá 9 nghìn đồng, hết 45 nghìn đồng. Tìm số quyển mỗi loại.

Ví dụ mẫu: Gọi x, y là số quyển vở loại A, loại B (nguyên không âm). Hệ: $x+y=6$; $6x+9y=45$. Suy ra $3y=9$, $y=3$, $x=3$. Trả lời: Có 3 quyển loại A và 3 quyển loại B.
Sản phẩm nhóm: đề bài thực tế có đủ đơn vị; lời giải có ẩn, điều kiện, hệ, nghiệm, đối chiếu và trả lời bằng lời.