Giáo án Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Gợi mở nhu cầu đưa căn về dạng gọn hơn và xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV ghi lên bảng biểu thức $2\sqrt{12}-\sqrt{27}$ và hỏi: 'Hai căn thức $\sqrt{12}$ và $\sqrt{27}$ có gì giống nhau? Có cách nào viết biểu thức này gọn hơn không?' Sau đó HS dự đoán kết quả và nêu lý do.

HS nhận ra $12=4\cdot 3$ và $27=9\cdot 3$ đều có thừa số chính phương, từ đó dự đoán cần đưa thừa số ra ngoài dấu căn trước khi cộng, trừ. HS xác định nhiệm vụ: học cách đưa thừa số ra ngoài, cộng trừ căn đồng dạng và trục căn ở mẫu.

Hình thành quy tắc đưa thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn; hiểu vai trò của $|a|$ và điều kiện $b\ge 0$.

HS hoạt động theo cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 1 (phần A). Các câu hỏi chính: (1) Tính $\sqrt{(-2)^2\cdot 3}$ và so sánh với $|-2|\sqrt{3}$. (2) Từ kết quả đó, viết công thức tổng quát cho $\sqrt{a^2b}$ khi $b\ge 0$. (3) Viết $\sqrt{12}$ và $\sqrt{27}$ dưới dạng $k\sqrt{3}$. (4) Vì sao không viết $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ với mọi $a$? Hãy đưa $2\sqrt{3}$ vào trong dấu căn và cho biết điều kiện của $a$.

Kết luận của HS: với $b\ge 0$, $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$; đặc biệt $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ và $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Với $a\ge 0$, $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$; ví dụ $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$. Vì $a$ có thể âm nên $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ chỉ đúng khi $a\ge 0$; khi $a<0$ thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}$, ví dụ $(-2)\sqrt{3}=-\sqrt{12}$.

Nắm được điều kiện hai căn thức đồng dạng và cách cộng, trừ hệ số; tránh sai lầm cộng số dưới căn.

HS tiếp tục làm phần B của Phiếu học tập số 1. Câu hỏi: (1) Tính $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$. (2) Có thể viết $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ không? Vì sao? (3) Rút gọn $2\sqrt{12}-\sqrt{27}$ theo kết quả đã đưa thừa số ra ngoài. (4) Tổng $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ có rút gọn được không?

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$, cộng hệ số $3+5$ vì hai căn đồng dạng. $\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}$ vì không được cộng số dưới căn. Từ $2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$ và $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ suy ra $2\sqrt{12}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$. Các căn khác dạng như $\sqrt{7}$ và $\sqrt{2}$ không rút gọn được. Kết luận: chỉ các căn thức đồng dạng (cùng căn, hoặc sau khi đưa thừa số ra ngoài thì cùng căn) mới cộng, trừ hệ số được.

Hình thành cách khử căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với căn hoặc với biểu thức liên hợp; hiểu liên hợp của $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ là $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

HS hoạt động nhóm 4, hoàn thành Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Trục căn ở mẫu của $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. (2) Tính $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ với $a\ge 0$, $b\ge 0$. (3) Trục căn ở mẫu của $\dfrac{3}{\sqrt{2}+1}$. (4) Nêu lý do phải giữ điều kiện mẫu khác 0 trong suốt quá trình biến đổi.

(1) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. (2) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$. (3) Nhân với liên hợp $\sqrt{2}-1$: $\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{1}=3\sqrt{2}-3$. (4) Nếu mẫu bằng 0 thì biểu thức không xác định, nên các biến đổi chỉ hợp lệ khi mẫu khác 0.

Củng cố đưa thừa số ra ngoài, cộng căn đồng dạng và trục căn ở mẫu qua các câu trắc nghiệm.

HS làm trắc nghiệm 4 câu trên bài tập tương tác NeoEdu hoặc trên phiếu giấy: (1) $\sqrt{48}$ bằng: A. $4\sqrt{3}$; B. $16\sqrt{3}$; C. $3\sqrt{4}$; D. $\sqrt{16}+\sqrt{3}$. (2) $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$ bằng: A. $8\sqrt{4}$; B. $15\sqrt{2}$; C. $8\sqrt{2}$; D. $\sqrt{16}$. (3) $\sqrt{18}:\sqrt{2}$ bằng bao nhiêu? (4) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ sau khi trục căn là: A. $\sqrt{3}$; B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$; C. $3\sqrt{3}$; D. $\dfrac{1}{3}$.
Đáp án: (1) A, vì $48=16\cdot 3$ nên $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. (2) C, vì $3+5=8$. (3) $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$. (4) B, vì nhân tử và mẫu với $\sqrt{3}$.

Đáp án: 1-A; 2-C; 3: 3; 4-B. HS giải thích ngắn gọn lý do chọn từng đáp án, ví dụ câu 1: '$48=16\cdot 3$ nên $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, không phải $16\sqrt{3}$.'

Vận dụng hằng đẳng thức liên hợp và khai phương để tính giá trị biểu thức có căn; trình bày lời giải đầy đủ.

HS làm theo nhóm 2 bài: (1) Tính $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$. (2) Tính $(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2-2\sqrt{14}$. (3) Trục căn ở mẫu của $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$ và rút gọn kết quả.

(1) $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1$. (2) $(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2-2\sqrt{14}=7+2\sqrt{14}+2-2\sqrt{14}=9$. (3) $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$.

Vận dụng việc đưa thừa số ra ngoài để biểu diễn độ dài có căn bậc hai gọn hơn trong bài toán thực tế.

Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $48\ \mathrm{m}^2$. Hãy: (1) Tìm độ dài cạnh mảnh vườn dưới dạng căn thức gọn nhất. (2) Tính chu vi mảnh vườn theo mét, viết dưới dạng $k\sqrt{3}$ và kiểm tra bằng máy tính. Sau đó trả lời câu hỏi: 'Vì sao nên viết kết quả dạng gọn thay vì chỉ ghi số thập phân?'

(1) Cạnh $a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ m, vì $48=16\cdot 3$. (2) Chu vi $P=4a=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ m, xấp xỉ $27{,}7$ m. Kiểm tra: $(4\sqrt{3})^2=16\cdot 3=48$, đúng với diện tích đề bài. Lý do: dạng căn gọn giữ được giá trị chính xác, dễ tính toán tiếp và dễ kiểm tra lại.