Giáo án Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

HS nhớ lại khái niệm lập phương và nhận ra nhu cầu tìm số có lập phương bằng một số cho trước.

GV nêu tình huống: một khối lập phương có thể tích $64\ \mathrm{cm^3}$. HS tìm độ dài cạnh $x$ của khối lập phương đó. Sau đó GV hỏi: số nào có lập phương bằng $-8$? Số nào có lập phương bằng $27$?

• Cạnh khối lập phương là $x$ với $x^3=64$, suy ra $x=4$ (vì $4^3=64$).
• Số có lập phương bằng $-8$ là $-2$, vì $(-2)^3=-8$.
• Số có lập phương bằng $27$ là $3$, vì $3^3=27$.
• Từ đó, GV dẫn vào bài: khi biết $x^3=a$ thì $x$ được gọi là căn bậc ba của $a$.

HS nêu được định nghĩa căn bậc ba, kí hiệu $\sqrt[3]{a}$, và giải thích được mọi số thực đều có đúng một căn bậc ba.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1: điền bảng giá trị $x$, $x^3$ và so sánh với căn bậc hai. Nhóm trả lời câu hỏi: 'Vì sao số âm vẫn có căn bậc ba?' và 'Vì sao một số thực chỉ có một căn bậc ba?'. Sau đó HS phát biểu định nghĩa và kí hiệu $\sqrt[3]{a}$.

• Bảng điền trên Phiếu số 1: $2^3=8$, $(-2)^3=-8$, $3^3=27$, $(-3)^3=-27$, $0^3=0$, $1^3=1$, $(-1)^3=-1$.
• Định nghĩa: Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực duy nhất $x$ sao cho $x^3=a$, kí hiệu $\sqrt[3]{a}$.
• Ví dụ: $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{-8}=-2$, $\sqrt[3]{-27}=-3$.
• Nhận xét: vì lập phương của số dương là dương, của số âm là âm, nên mỗi số thực chỉ có đúng một căn bậc ba và căn bậc ba của số âm vẫn có nghĩa.
• Kiến thức chốt: $\sqrt[3]{a^3}=a$ với mọi số thực $a$.

HS nêu được khái niệm căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$, vận dụng được $\sqrt[3]{a^3}=a$, tách lập phương để rút gọn, và nêu được quy tắc nhân, chia căn thức bậc ba.

GV giới thiệu căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$ với $A$ là biểu thức đại số. HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2 (phần A: rút gọn $\sqrt[3]{(-2)^3}$, $\sqrt[3]{54}$; phần B: tính $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}$). Sau đó GV chốt quy tắc nhân, chia (mẫu $B\neq 0$).

• $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$ (giữ dấu, không dùng giá trị tuyệt đối).
• $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}$.
• Quy tắc nhân: $\sqrt[3]{A}\cdot\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{AB}$ với mọi $A$, $B$.
• Quy tắc chia: $\dfrac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}=\sqrt[3]{\dfrac{A}{B}}$ với $B\neq 0$.
• Ví dụ: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{216}=6$; $\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$.
• Kiến thức chốt: với căn bậc ba, không cần điều kiện $A\ge 0$ hay $B\ge 0$ như căn bậc hai; chỉ cần mẫu khác 0 khi chia.

HS vận dụng định nghĩa, $\sqrt[3]{a^3}=a$ và quy tắc nhân, chia để giải bài tập; biết kiểm tra kết quả bằng cách lập phương và phát hiện được lỗi sai.

HS làm 8 bài tập sau (đề được chiếu trên máy chiếu và trên học liệu NeoEdu). Cặp đôi làm chung, đổi chéo để kiểm tra:

1. Tìm $\sqrt[3]{216}$.
2. Tìm $\sqrt[3]{-64}$.
3. Tìm $\sqrt[3]{(-3)^3}$.
4. Điều kiện xác định của $\sqrt[3]{x-2}$ là: A. $x\ge 2$; B. $x>2$; C. $x\le 2$; D. Mọi số thực $x$.
5. Tìm $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}$.
6. Nhận xét đúng hay sai: $\sqrt[3]{-8}=2$.
7. Rút gọn $\sqrt[3]{54}$.
8. Giải phương trình $\sqrt[3]{2x-1}=3$.

Đề và đáp án:

• Bài 1: $\sqrt[3]{216}=6$ vì $6^3=216$.
• Bài 2: $\sqrt[3]{-64}=-4$ vì $(-4)^3=-64$.
• Bài 3: $\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$ (căn bậc ba và lập phương triệt tiêu nhau).
• Bài 4: Đáp án D, vì căn bậc ba xác định với mọi số thực $x$.
• Bài 5: $\sqrt[3]{\dfrac{8}{125}}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ vì $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125}$.
• Bài 6: Sai. Vì $2^3=8$, đúng là $\sqrt[3]{-8}=-2$.
• Bài 7: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$.
• Bài 8: $\sqrt[3]{2x-1}=3\Leftrightarrow 2x-1=27\Leftrightarrow x=14$. Kiểm tra: $\sqrt[3]{2\cdot 14-1}=\sqrt[3]{27}=3$ (đúng).

HS mô hình hoá tình huống thực tế về thể tích bằng phương trình $x^3=V$ và giải bằng căn bậc ba, kèm kiểm tra kết quả.

Tình huống: một bể nước hình lập phương chứa được $343\ \mathrm{dm^3}$ nước. (a) Tính độ dài cạnh bể. (b) Một thùng chứa hình lập phương có thể tích $0{,}064\ \mathrm{m^3}$; tính cạnh thùng theo đơn vị $\mathrm{dm}$ (biết $1\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{dm}$). HS làm theo nhóm 2, sau đó về nhà hoàn thiện câu (c).

• (a) Cạnh bể $x$ thoả mãn $x^3=343$, suy ra $x=\sqrt[3]{343}=7\ \mathrm{dm}$ (vì $7^3=343$).
• (b) Thể tích $0{,}064\ \mathrm{m^3}=64\ \mathrm{dm^3}$, cạnh $x=\sqrt[3]{64}=4\ \mathrm{dm}$.
• Kiến thức vận dụng: bài toán thể tích hình lập phương dẫn đến $x^3=V$, nên $x=\sqrt[3]{V}$.
• Kết quả kiểm tra: $7^3=343$ và $4^3=64$.