Giáo án Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Huy động kiến thức về căn bậc hai số học đã học, nhận ra vấn đề: liệu $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ có luôn đúng hay không.

HS tính nhanh hai biểu thức $\sqrt{4\cdot 9}$ và $\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}$, sau đó tính $\sqrt{2\cdot 8}$ và $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$. Từ đó trả lời câu hỏi: Có phải căn bậc hai của một tích luôn bằng tích các căn bậc hai không?

Kết quả: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ và $\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot 3=6$; $\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$ và $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
Dự đoán ban đầu: Có vẻ đúng khi các số không âm. HS ghi nhận vấn đề cần khám phá: điều kiện nào để quy tắc đúng và quy tắc áp dụng ra sao.

Phát hiện và phát biểu quy tắc $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ với $a,b\ge 0$; nhận ra trường hợp không áp dụng được khi a, b âm.

HS làm theo cặp Phiếu học tập số 1 (phần A): tính và so sánh $\sqrt{16\cdot 25}$ với $\sqrt{16}\cdot\sqrt{25}$; tính $\sqrt{9\cdot 49}$; tự đặt thêm một ví dụ. Sau đó xét $\sqrt{(-4)(-9)}$ và $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$, nhận xét xem biểu thức $\sqrt{-4}$ có xác định trong số thực không. Cuối cùng phát biểu quy tắc bằng lời và bằng công thức.

Kết quả: $\sqrt{16\cdot 25}=\sqrt{400}=20$ và $\sqrt{16}\cdot\sqrt{25}=4\cdot 5=20$; $\sqrt{9\cdot 49}=\sqrt{441}=21=3\cdot 7$.
Kết luận HS rút ra: Với $a,b\ge 0$ thì $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$. Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều thừa số không âm.
Lưu ý: $\sqrt{-4}$ và $\sqrt{-9}$ không xác định trong số thực nên không thể viết $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$. Biểu thức $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$ là đúng nhưng không dùng được quy tắc trên.

Phát hiện và phát biểu quy tắc $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a\ge 0$, $b>0$; biết kiểm tra mẫu dương trước khi áp dụng.

HS làm tiếp Phiếu học tập số 1 phần B: tính $\sqrt{\dfrac{81}{9}}$ và $\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}$; tính $\sqrt{\dfrac{72}{2}}$ và $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$; tính $\sqrt{\dfrac{225}{25}}$. Sau đó trả lời: Tại sao yêu cầu mẫu $b>0$? Điều gì xảy ra nếu $b=0$?

Kết quả: $\sqrt{\dfrac{81}{9}}=3$ và $\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3$; $\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$ và $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=6$; $\sqrt{\dfrac{225}{25}}=\sqrt{9}=3$.
Kết luận HS rút ra: Với $a\ge 0$, $b>0$ thì $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Khi $b=0$ thì phép chia không thực hiện được, nên phải có $b>0$.

Vận dụng hai quy tắc để tính giá trị biểu thức số; rèn kĩ năng phân tích số thành thừa số chính phương.

HS làm theo nhóm 4 người (kĩ thuật trò chơi "Ai nhanh hơn"): Bài 1: Tính $\sqrt{9\cdot 49}$. Bài 2: Tính $\sqrt{\dfrac{81}{9}}$. Bài 4: Tính $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}$. Bài 5: Tính $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$. Sau mỗi bài, nhóm trình bày lời giải có ghi điều kiện, đối chiếu kết quả bằng máy tính bỏ túi.

Đáp án:
Bài 1: $\sqrt{9\cdot 49}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{49}=3\cdot 7=21$.
Bài 2: $\sqrt{\dfrac{81}{9}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3$.
Bài 4: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{36}=6$.
Bài 5: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
HS ghi lời giải đầy đủ kèm điều kiện của các căn (các số đều không âm, mẫu dương).

Nhận biết được đẳng thức đúng, sai trong tập số thực; rút gọn biểu thức chứa căn với điều kiện dấu của biến.

HS làm việc cá nhân rồi kiểm tra theo cặp các bài: Bài 3: Trong các đáp án, $\sqrt{50}$ bằng: A. $5\sqrt{2}$; B. $25\sqrt{2}$; C. $2\sqrt{5}$; D. $5+\sqrt{2}$. Bài 6: Đẳng thức $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ đúng hay sai trong tập số thực? Bài 7: Rút gọn $\sqrt{18x^2}$ với $x<0$. Bài 8: Tính $\sqrt{0{,}04\cdot 225}$.

Đáp án:
Bài 3: Đáp án A, vì $50=25\cdot 2$ nên $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
Bài 6: Sai, vì vế phải $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ không xác định trong số thực; vế trái bằng $6$ nhưng không do quy tắc khai căn một tích.
Bài 7: Với $x<0$ thì $\sqrt{18x^2}=\sqrt{18}\cdot\sqrt{x^2}=3\sqrt{2}\cdot|x|=3\sqrt{2}\cdot(-x)=-3x\sqrt{2}$.
Bài 8: $\sqrt{0{,}04\cdot 225}=\sqrt{0{,}04}\cdot\sqrt{225}=0{,}2\cdot 15=3$.
HS ghi lập luận cho bài 6 và bài 7, nhận ra cần dùng $|x|$ khi biến có thể âm.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng biểu thức chứa căn; vận dụng quy tắc khai căn một tích để tính cạnh và kiểm tra kết quả hợp lí.

Bác Tư thiết kế một khu vườn hình vuông trên bản vẽ thu nhỏ, có diện tích bằng tích của hai số $1{,}44\ \text{m}^2$ và $25\ \text{m}^2$. Nhóm HS: (1) Viết biểu thức tính cạnh khu vườn bằng căn bậc hai; (2) Dùng quy tắc khai căn một tích để tính cạnh, trình bày điều kiện; (3) Kiểm tra lại: bình phương cạnh vừa tìm có bằng diện tích không; (4) Nêu ý nghĩa thực tế: nếu bác Tư muốn đổi sang cạnh $10\ \text{m}$ thì diện tích khu vườn thay đổi thế nào.

Sản phẩm nhóm: Biểu thức: cạnh $a=\sqrt{1{,}44\cdot 25}\ \text{m}$.
Tính: $\sqrt{1{,}44\cdot 25}=\sqrt{1{,}44}\cdot\sqrt{25}=1{,}2\cdot 5=6\ \text{m}$.
Kiểm tra: $6^2=36=1{,}44\cdot 25$, đúng.
Vậy cạnh khu vườn là $6\ \text{m}$; diện tích khu vườn là $36\ \text{m}^2$. Nếu cạnh là $10\ \text{m}$ thì diện tích là $100\ \text{m}^2$.