Giáo án Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nhận biết tình huống thực tế dẫn đến bất phương trình bậc nhất một ẩn; nêu được vấn đề cần giải quyết.

Cô An có 100 nghìn đồng. Cô phải trả phí cố định 10 nghìn đồng và mỗi quyển vở có giá 12 nghìn đồng. HS trả lời câu hỏi: “Cô An mua được nhiều nhất mấy quyển vở?” và thử đoán bằng cách tính số tiền với 5, 7, 8 quyển vở.

HS nêu được: nếu mua $n$ quyển vở thì tổng chi phí là $10+12n$ nghìn đồng, điều kiện để đủ tiền là $10+12n\le 100$. Từ đó nêu vấn đề: cần học cách giải bất phương trình có dạng này và đối chiếu nghiệm với điều kiện $n$ là số nguyên không âm.

Nêu được dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn; nhận biết nghiệm và tập nghiệm; thử giá trị của ẩn để kiểm tra nghiệm; nhận biết vai trò của dấu “bằng” trong $\ge$, $\le$.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1, xét bất phương trình $-2x+6\ge 0$. Các em thay $x=0$, $x=3$, $x=4$ vào bất phương trình và điền kết quả đúng/sai. Sau đó các em tìm thêm một số nghiệm và nêu nhận xét về tập nghiệm.

Bảng thử nghiệm: với $x=0$ thì $6\ge 0$ là đúng nên $0$ là nghiệm; với $x=3$ thì $0\ge 0$ là đúng nên $3$ là nghiệm; với $x=4$ thì $-2\ge 0$ là sai nên $4$ không là nghiệm. Kiến thức HS rút ra: bất phương trình $ax+b\ge 0$ với $a\ne 0$ có tập nghiệm gồm các số thỏa mãn bất đẳng thức đúng; tập nghiệm được biểu diễn bởi một nửa trục số, ở đây là các số $x\le 3$, điểm $3$ được tô đậm vì dấu là $\ge$.

Vận dụng được quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân, chia hai vế với số âm để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn; biểu diễn tập nghiệm trên trục số; kiểm tra nghiệm bằng điểm thử.

HS làm Phiếu học tập số 2: giải $-2x+6\ge 0$ theo từng bước rồi kiểm tra bằng điểm thử; sau đó so sánh với cách giải $3x-6>0$. GV hỏi: “Khi chia hai vế cho $-2$, chiều bất đẳng thức thay đổi thế nào? Vì sao?”

Lời giải mẫu: $-2x+6\ge 0$ suy ra $-2x\ge -6$; chia hai vế cho $-2$ (số âm) và đảo chiều: $x\le 3$. Tập nghiệm $\{x\mid x\le 3\}$, biểu diễn nửa trục số bên trái điểm $3$, tô đậm điểm $3$. Kiểm tra bằng điểm thử $x=0$: $6\ge 0$ đúng. Quy tắc HS rút ra: chuyển hạng tử đổi dấu; chia (hoặc nhân) hai vế với số dương thì giữ chiều; với số âm thì đảo chiều bất đẳng thức. Với $3x-6>0$: $3x>6$, chia $3$ dương giữ chiều, $x>2$.

Nhận biết nhanh tập nghiệm, chiều bất đẳng thức và nghiệm nguyên lớn nhất, nhỏ nhất của bất phương trình bậc nhất một ẩn.

HS làm các câu sau bằng bảng con: (1) Tập nghiệm của $3x-6>0$ là: A. $x<2$; B. $x>2$; C. $x\ge 2$; D. $x<-2$. (2) Tập nghiệm của $-4x\le 12$ là: A. $x\le -3$; B. $x\ge -3$; C. $x\ge 3$; D. $x\le 3$. (3) Số nguyên nhỏ nhất thỏa $2x+1>8$ là bao nhiêu? (4) Số nguyên lớn nhất thỏa $5x\le 18$ là bao nhiêu? (5) $x=2$ có là nghiệm của $x-2>0$ không?

Đáp án: (1) B, vì $3x>6$, chia $3$ dương giữ chiều, $x>2$. (2) B, vì chia $-4$ đảo chiều: $x\ge -3$. (3) $4$, vì $2x>7$ nên $x>3{,}5$, số nguyên nhỏ nhất là $4$. (4) $3$, vì $x\le 3{,}6$, số nguyên lớn nhất là $3$. (5) Sai, vì $2-2=0$ không lớn hơn $0$.

Giải được bất phương trình có ngoặc và mẫu; trình bày lời giải đầy đủ điều kiện, phép tính và kết luận.

HS làm theo nhóm đôi hai bài: (a) Giải $2(x-3)\le 5x+3$. (b) Giải $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{x+1}{3}>1$. Sau đó kiểm tra nghiệm bằng cách thử một giá trị thuộc tập nghiệm và một giá trị không thuộc tập nghiệm.

(a) $2x-6\le 5x+3$, suy ra $-9\le 3x$, suy ra $x\ge -3$. Tập nghiệm $\{x\mid x\ge -3\}$. (b) Nhân hai vế với $6$: $3(x-1)-2(x+1)>6$, suy ra $3x-3-2x-2>6$, suy ra $x>11$. Tập nghiệm $\{x\mid x>11\}$. Kiểm tra (b) với $x=12$: $\dfrac{11}{2}-\dfrac{13}{3}\approx 1{,}17>1$ là đúng.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng bất phương trình bậc nhất một ẩn; đối chiếu nghiệm đại số với điều kiện $n$ là số nguyên không âm.

Bài toán gốc: Cô An có 100 nghìn đồng, phí cố định 10 nghìn đồng, mỗi quyển vở 12 nghìn đồng. Hỏi cô mua được nhiều nhất mấy quyển vở? HS gọi $n$ là số quyển vở, lập bất phương trình, giải, rồi chọn nghiệm phù hợp với điều kiện thực tế. GV giao thêm biến thể về nhà với ngân sách 150 nghìn đồng.

Lập bất phương trình: $10+12n\le 100$, suy ra $12n\le 90$, suy ra $n\le 7{,}5$. Do $n$ là số nguyên không âm nên $n\in\{0;1;\dots;7\}$, số vở tối đa là $7$. Kiểm tra: $n=7$ thì $10+84=94\le 100$ (đúng); $n=8$ thì $106>100$ (không đủ tiền). Kết luận: cô An mua được nhiều nhất $7$ quyển vở.