Giáo án Bài 32. Hình cầu

Huy động kiến thức nền về hình tròn, nhận biết hình cầu trong thực tế và xác định vấn đề cần tìm hiểu của bài học.

GV đưa quả bóng (hoặc quả cầu mô hình) lên lớp và hỏi:

• Quả bóng có dạng hình gì? Hãy kể thêm 2 vật thể có dạng tương tự trong đời sống.
• Nếu dùng một mặt phẳng cắt đi qua tâm quả bóng thì mặt cắt là hình gì?
• Để biết quả bóng chứa được bao nhiêu không khí hoặc cần bao nhiêu vật liệu để phủ kín mặt ngoài, ta cần tính những đại lượng nào, theo R như thế nào?

HS nhận biết: quả bóng có dạng hình cầu; các vật thể tương tự là quả bưởi, quả bóng bàn, bồn chứa hình cầu...; mặt cắt qua tâm là hình tròn. Vấn đề cần giải quyết: tính diện tích mặt cầu S và thể tích hình cầu V theo bán kính R. HS ghi tên bài “Hình cầu” vào vở.

HS nêu được cách tạo hình cầu bằng cách quay nửa hình tròn quanh đường kính; phân biệt hình cầu và mặt cầu; xác định tâm và bán kính.

Nhóm 4 HS thực hiện trên học liệu NeoEdu (mô phỏng quay nửa hình tròn) hoặc thao tác với nửa hình tròn bằng bìa cứng:

• Quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R quanh đường kính AB. Hình nhận được là gì?
• Phần mặt ngoài của hình đó gọi là gì? Bán kính của hình cầu bằng bán kính nào của nửa hình tròn?
• Hình cầu gồm những điểm nào: phần mặt ngoài hay cả phần bên trong? Điền kết quả vào Phiếu học tập số 1 (phần A).

HS rút ra:

• Quay nửa hình tròn tâm O bán kính R quanh đường kính AB ta được hình cầu tâm O, bán kính R.
• Mặt ngoài của hình cầu gọi là mặt cầu; mặt cầu là đường bao của hình cầu.
• Bán kính của hình cầu bằng bán kính của nửa hình tròn; đường kính hình cầu bằng 2R.
• Hình cầu gồm cả phần bên trong và mặt cầu; mặt cầu chỉ là phần vỏ ngoài.

HS viết được công thức $S=4\pi R^2$, $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$; tính được S, V khi biết R và ghi đúng đơn vị.

Các nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1 (phần B):

• Với hình cầu bán kính R=3 cm, tính diện tích mặt cầu S và thể tích V.
• So sánh: hệ số của π trong S và V có bằng nhau không? Đơn vị của S và V có giống nhau không? Vì sao?
• Khi thay R=2 cm và R=6 cm, S và V thay đổi như thế nào? Kiểm tra lại bằng cách thay số.
  GV đưa công thức tổng quát để HS đối chiếu với kết quả tự tìm.

Công thức: $S=4\pi R^2$ (đơn vị đo là đơn vị độ dài bình phương); $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$ (đơn vị đo là đơn vị độ dài lập phương).
Ví dụ R=3 cm: $S=4\pi\cdot 3^2=36\pi$ cm²; $V=\dfrac{4\pi\cdot 27}{3}=36\pi$ cm³ ≈ 113,10 cm³ (với π ≈ 3,14 thì ≈ 113,04 cm³ nếu dùng π≈3,14; ghi kết quả theo máy tính cầm tay).
Nhận xét: hệ số của π bằng nhau nhưng đơn vị khác nhau (cm² và cm³).
R=2 cm: S=16π cm², V=$\dfrac{32\pi}{3}$ cm³; R=6 cm: S=144π cm², V=288π cm³.

HS giải thích được mặt cắt qua tâm là hình tròn lớn, mặt cắt cách tâm d<R có bán kính $\sqrt{R^2-d^2}$; vận dụng quan hệ khi bán kính tăng k lần.

Nhóm thảo luận theo kỹ thuật mảnh ghép (2 vòng):

• Vòng 1: Mỗi nhóm nghiên cứu một ý: (a) Mặt cắt qua tâm; (b) Mặt cắt cách tâm d<R; (c) Bán kính tăng k lần ảnh hưởng đến S và V như thế nào.
• Vòng 2: HS chuyển sang nhóm mới, chia sẻ ý của nhóm cũ và hoàn thiện Phiếu học tập số 2.
  Ví dụ gợi ý: R=5 cm, mặt cắt cách tâm 3 cm có bán kính bao nhiêu?

• Mặt phẳng qua tâm cắt hình cầu theo hình tròn lớn có bán kính R.
• Mặt cắt cách tâm d (d<R) là hình tròn có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Ví dụ R=5 cm, d=3 cm: $r=\sqrt{25-9}=4$ cm.
• Khi bán kính tăng k lần: diện tích mặt cầu tăng k² lần; thể tích hình cầu tăng k³ lần. Ví dụ bán kính tăng 2 lần thì thể tích tăng 8 lần; bán kính tăng 3 lần thì diện tích mặt cầu tăng 9 lần.

Củng cố công thức S, V, mặt cắt và quan hệ tỉ lệ thông qua các câu hỏi ngắn; rèn lập luận khi nhận định đúng sai.

Trò chơi “Đội nhanh – đội chắc” (lớp chia 4 đội): GV lần lượt đọc 6 câu hỏi, mỗi đội ghi đáp án vào bảng nhóm; sau mỗi câu, đội trả lời phải nêu lí do.
Câu 1: Cầu R=2, hệ số của π trong diện tích mặt cầu là bao nhiêu?
Câu 2: Cầu R=3, hệ số của π trong thể tích là bao nhiêu?
Câu 3: Bán kính hình cầu tăng 2 lần, thể tích tăng mấy lần?
Câu 4: Bán kính hình cầu tăng 3 lần, diện tích mặt cầu tăng mấy lần?
Câu 5: Cầu R=5, mặt cắt cách tâm 3, bán kính mặt cắt là bao nhiêu?
Câu 6: Mọi mặt cắt của cầu đều là hình tròn lớn. Đúng hay sai? Vì sao?

Đáp án:

1. 16 (vì $4\cdot 2^2=16$, diện tích $16\pi$ cm²).
2. 36 (vì $\dfrac{4\cdot 27}{3}=36$, thể tích $36\pi$ cm³).
3. 8 (vì $2^3=8$).
4. 9 (vì $3^2=9$).
5. 4 (vì $\sqrt{25-9}=4$).
6. Sai. Chỉ mặt phẳng đi qua tâm mới cho hình tròn lớn; mặt phẳng không qua tâm cho hình tròn có bán kính nhỏ hơn R.

HS trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kiểm tra kết quả; vận dụng công thức V để giải bài toán thực tế về thể tích nước dâng.

Làm việc theo cặp đôi.
Bài 7: Quả cầu có đường kính 12 cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
Bài 8: Một quả cầu đặc không thấm nước, bán kính 3 cm, được nhúng chìm hoàn toàn vào bình nước đủ rộng, không tràn. Tính thể tích phần không gian nằm dưới mực nước mới nhưng trên mực nước cũ.
Yêu cầu: viết đầy đủ điều kiện, phép tính, đơn vị và kiểm tra lại bằng cách đổi đơn vị hoặc thay ngược kết quả.

Bài 7: R=6 cm (vì đường kính 12 cm); $S=4\pi\cdot 6^2=144\pi$ cm² ≈ 452,16 cm²; $V=\dfrac{4\pi\cdot 6^3}{3}=288\pi$ cm³ ≈ 904,32 cm³.
Bài 8: Thể tích phần không gian tăng thêm bằng đúng thể tích quả cầu: $V=\dfrac{4\pi\cdot 3^3}{3}=36\pi$ cm³ ≈ 113,10 cm³. Không dùng diện tích mặt cầu $4\pi\cdot 3^2=36\pi$ cm² vì đơn vị không phải là thể tích.
Thang đánh giá tham khảo (1 điểm): lập luận đúng 0,5; phép tính chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận có đơn vị 0,2.

HS vận dụng công thức S và V vào tình huống thực tế về bồn chứa hình cầu; đưa ra kết luận có điều kiện và kiểm tra kết quả hợp lí.

Tình huống: Một công ty nước sạch địa phương dự định lắp bồn chứa nước hình cầu bán kính 2 m.
Nhiệm vụ 1: Tính diện tích mặt ngoài cần sơn chống gỉ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Nhiệm vụ 2: Tính thể tích nước tối đa bồn chứa được (làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị m³).
Nhiệm vụ 3 (về nhà): Nếu bán kính tăng gấp đôi thì diện tích sơn và thể tích nước tăng bao nhiêu lần? Giải thích bằng công thức.

Nhiệm vụ 1: $S=4\pi\cdot 2^2=16\pi$ m² ≈ 50,27 m².
Nhiệm vụ 2: $V=\dfrac{4\pi\cdot 2^3}{3}=\dfrac{32\pi}{3}$ m³ ≈ 33,51 m³.
Nhiệm vụ 3: Bán kính tăng 2 lần thì diện tích tăng 4 lần; thể tích tăng 8 lần (vì $2^2=4$, $2^3=8$).
Kết luận: bồn có dung tích khoảng 33,51 m³; lượng sơn tỉ lệ với diện tích mặt ngoài và chi phí tăng theo bình phương bán kính.