Giáo án Bài 30. Đa giác đều

Huy động kiến thức về đa giác, cạnh và góc đã học ở lớp 8, từ đó xác định vấn đề: đa giác đều là đa giác như thế nào.

GV chiếu lần lượt các hình: tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi (không phải hình vuông), ngũ giác đều. HS trả lời câu hỏi: Hình nào có mọi cạnh bằng nhau? Hình nào có mọi góc bằng nhau? Hình nào vừa có mọi cạnh bằng nhau vừa có mọi góc bằng nhau?

HS nêu được: đa giác đều là đa giác có mọi cạnh bằng nhau và mọi góc bằng nhau. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nhưng các góc không nhất thiết bằng nhau nên không phải đa giác đều. Hình vuông, tam giác đều và ngũ giác đều là đa giác đều.

Giải thích được công thức góc ở tâm và góc trong của đa giác đều n cạnh; vận dụng công thức để tính được với một số đa giác đều cụ thể.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm vẽ đường tròn tâm O, chia đường tròn thành n cung bằng nhau (với n = 3, 4, 5, 6, 8) rồi nối các điểm chia liên tiếp để được đa giác đều n cạnh. Nhóm tính góc ở tâm, góc trong và góc ngoài cho từng đa giác và điền vào bảng. Sau đó nhóm trả lời: Vì sao tổng các góc ở tâm bằng $360^\circ$? Vì sao góc trong bằng $180^\circ$ trừ góc ngoài?

Bảng kết quả (Phiếu học tập số 1):

• n = 3: góc ở tâm $120^\circ$; góc trong $60^\circ$; góc ngoài $120^\circ$.
• n = 4: góc ở tâm $90^\circ$; góc trong $90^\circ$; góc ngoài $90^\circ$.
• n = 5: góc ở tâm $72^\circ$; góc trong $108^\circ$; góc ngoài $72^\circ$.
• n = 6: góc ở tâm $60^\circ$; góc trong $120^\circ$; góc ngoài $60^\circ$.
• n = 8: góc ở tâm $45^\circ$; góc trong $135^\circ$; góc ngoài $45^\circ$.
  Kiến thức HS rút ra: Đa giác đều n cạnh có góc ở tâm bằng $\dfrac{360^\circ}{n}$ và góc trong bằng $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$; góc ngoài bằng $\dfrac{360^\circ}{n}$, góc trong và góc ngoài kề bù nhau.

Giải thích được đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp cùng tâm, phép quay quanh tâm góc $\dfrac{360^\circ}{n}$ đưa đa giác về chính nó; tính được cạnh của lục giác đều và hình vuông theo bán kính R.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2. Nhóm (1) quan sát đa giác đều vừa vẽ, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, nhận xét về vị trí hai tâm này; (2) xoay đa giác quanh tâm một góc $\dfrac{360^\circ}{n}$ và giải thích vì sao hình không đổi; (3) với lục giác đều bán kính R, so sánh cạnh với R; (4) với hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R, tính đường chéo và cạnh theo R.

Kiến thức HS rút ra:

• Đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp cùng tâm (tâm đối xứng của đa giác đều).
• Phép quay quanh tâm góc $\dfrac{360^\circ}{n}$ biến mỗi đỉnh thành đỉnh kế tiếp nên đa giác đều bất biến qua phép quay đó.
• Lục giác đều: cạnh bằng bán kính ngoại tiếp R, tức là cạnh bằng $R$.
• Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R: đường chéo bằng $2R$, cạnh bằng $\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}$.

Củng cố công thức góc ở tâm, góc trong, cạnh lục giác đều và tính chất phép quay; nhận biết đúng đa giác đều.

GV chiếu lần lượt 6 câu hỏi trắc nghiệm và tự luận ngắn (bài tập 1 đến 6 của bài học). Mỗi câu HS giơ bảng con hoặc thẻ đáp án trong 1 phút. Với câu tự luận, nhóm thảo luận 1 phút rồi ghi kết quả lên bảng nhóm. Nhóm trả lời đúng nhiều nhất thắng.
Câu 1: Ngũ giác đều có góc ở tâm bằng bao nhiêu?
Câu 2: Lục giác đều có góc trong bằng bao nhiêu?
Câu 3: Bát giác đều có góc ở tâm bằng bao nhiêu?
Câu 4: Lục giác đều bán kính ngoại tiếp R = 5, tính chu vi.
Câu 5: Hình nào luôn là đa giác đều? A. Hình chữ nhật; B. Hình thoi; C. Hình vuông; D. Hình thang cân.
Câu 6: Ngũ giác đều có bất biến qua phép quay $72^\circ$ quanh tâm không? Đúng hay sai?

Đáp án:

1. Góc ở tâm: $\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$.
2. Góc trong: $\dfrac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}=120^\circ$.
3. Góc ở tâm: $\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$.
4. Cạnh lục giác đều bằng R = 5, chu vi bằng $6\cdot 5=30$.
5. Đáp án C, vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc bằng nhau ($90^\circ$).
6. Đúng, vì góc $72^\circ$ đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kế tiếp nên ngũ giác đều trùng với chính nó.

Vận dụng công thức của đa giác đều để giải bài toán thực tế: tìm số cạnh khi biết góc ngoài, tính góc trong và tính cạnh, chu vi, diện tích của hình vuông nội tiếp.

Nhóm giải hai bài toán:
(a) Một hoa văn trang trí có dạng đa giác đều, mỗi góc ngoài của đa giác bằng $24^\circ$. Tìm số cạnh và số đo góc trong của đa giác.
(b) Một tấm bìa hình vuông được cắt nội tiếp đường tròn bán kính R = 3. Tính cạnh và diện tích tấm bìa.
Nhóm trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kết luận.

Lời giải dự kiến:
(a) Số cạnh: $n=\dfrac{360^\circ}{24^\circ}=15$. Góc trong: $\dfrac{(15-2)\cdot 180^\circ}{15}=156^\circ$ (hoặc $180^\circ-24^\circ=156^\circ$). Kết luận: hoa văn có 15 cạnh, mỗi góc trong bằng $156^\circ$.
(b) Đường chéo hình vuông bằng $2R=6$. Cạnh bằng $\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$. Diện tích bằng $(3\sqrt{2})^2=18$. Kết luận: cạnh tấm bìa $3\sqrt{2}$, diện tích $18$ (đơn vị độ dài và đơn vị diện tích tương ứng).