Giáo án Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Gợi nhớ tính chất của đường trung trực và đường phân giác; tạo tình huống dẫn vào bài học về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.

HS dựng tam giác nhọn ABC bất kì, dựng đường trung trực của hai cạnh AB và BC, gọi giao điểm là O. Sau đó HS đo và so sánh độ dài OA, OB, OC. Câu hỏi GV đặt ra: Điểm O có cách đều ba đỉnh A, B, C không? Vì sao điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh AC?

Kết quả dự kiến: $OA=OB=OC$, vì O nằm trên đường trung trực của AB và của BC, mà mỗi điểm trên trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn đó. Vì vậy O cũng nằm trên trung trực của AC. Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua cả ba đỉnh A, B, C.

Nêu được định nghĩa đường tròn ngoại tiếp; giải thích được tâm là giao các đường trung trực; tính được bán kính $R$ với tam giác vuông và tam giác đều.

Nhóm 4 HS làm việc theo Phiếu học tập số 1, chia nhiệm vụ: nhóm trưởng điều phối; HS 1 và HS 2 làm câu a, b; HS 3 và HS 4 làm câu c, sau đó kiểm tra chéo. Nội dung phiếu gồm: (a) Dựng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác nhọn, tam giác vuông và tam giác tù, nhận xét vị trí tâm so với tam giác. (b) Tam giác vuông ABC có góc A bằng $90^\circ$, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh BC và tính $R$ theo BC. (c) Tam giác đều cạnh $a$, dựa vào trọng tâm và đường cao để chứng minh $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

Kiến thức HS rút ra: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh; tâm là giao ba đường trung trực, cách đều ba đỉnh. Với tam giác vuông, tâm nằm trên cạnh huyền và là trung điểm cạnh huyền, nên $R=\dfrac{BC}{2}$. Với tam giác đều cạnh $a$, tâm trùng trọng tâm, đường cao $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Tam giác tù có tâm nằm ngoài tam giác.

Nêu được định nghĩa đường tròn nội tiếp và giải thích được tâm là giao các đường phân giác trong; suy ra và vận dụng được công thức $r=\dfrac{S}{p}$.

HS làm việc theo cặp đôi, dùng học liệu số NeoEdu để xem ví dụ tam giác 3-4-5 và kiểm tra kết quả. Nhiệm vụ: (a) Dựng hai đường phân giác trong của tam giác ABC, gọi giao điểm là I; dùng thước đo khoảng cách từ I đến ba cạnh và nhận xét. (b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, bán kính r; chia tam giác thành ba tam giác IAB, IBC, ICA, viết tổng diện tích theo r và các cạnh, từ đó suy ra $S=pr$ với p là nửa chu vi. (c) Áp dụng với tam giác có cạnh 3, 4, 5.

Kiến thức HS rút ra: Điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó; tâm I là giao các đường phân giác trong, cách đều ba cạnh. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc ba cạnh tại ba điểm, bán kính là khoảng cách từ I đến cạnh. Công thức: $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)=pr$, suy ra $r=\dfrac{S}{p}$. Ví dụ tam giác 3-4-5: $p=\dfrac{3+4+5}{2}=6$, $S=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$, $r=\dfrac{6}{6}=1$.

Vận dụng định nghĩa, công thức $R$, $r$ để giải bài tập; trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kiểm tra kết quả; nhận biết quan niệm sai về vị trí tâm ngoại tiếp tam giác tù.

Phần A (cặp đôi, 10 phút): làm Phiếu học tập số 2, câu 1 đến câu 6 (trắc nghiệm và đúng/sai). Phần B (nhóm 4, 15 phút): giải câu 7 và câu 8 của Phiếu học tập số 2, trình bày lời giải đầy đủ, kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số vào công thức khác. Đề bài: Câu 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 14, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp. Câu 2: Tam giác 3-4-5 có diện tích 6, nửa chu vi 6, tính bán kính đường tròn nội tiếp. Câu 3: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao của: A. các đường trung tuyến; B. các đường cao; C. các đường phân giác trong; D. các đường trung trực. Câu 4: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của: A. các đường trung trực; B. các đường cao; C. các đường phân giác; D. các cạnh. Câu 5: Tam giác đều cạnh 6, tìm hệ số của $\sqrt{3}$ trong R. Câu 6: Đúng hay sai: Mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp duy nhất. Câu 7: Tam giác vuông có ba cạnh 6, 8, 10, tính R và r. Câu 8: Giải thích vì sao tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh.

Đáp án: Câu 1: $R=\dfrac{14}{2}=7$. Câu 2: $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6}{6}=1$. Câu 3: C (điểm cách đều ba cạnh nằm trên các đường phân giác trong). Câu 4: A (điểm cách đều ba đỉnh nằm trên các đường trung trực). Câu 5: $R=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$, hệ số là 2. Câu 6: Đúng, vì ba đỉnh không thẳng hàng nên xác định duy nhất một đường tròn. Câu 7: Tam giác vuông có cạnh huyền 10 nên $R=5$; $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$, $S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, $r=\dfrac{24}{12}=2$. Câu 8: Điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh góc đó; tâm nội tiếp là giao các phân giác nên cách đều cả ba cạnh. Quan niệm sai cần chỉnh: tâm ngoại tiếp tam giác tù nằm ngoài tam giác.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng tam giác và đường tròn; vận dụng đường tròn ngoại tiếp và công thức $r=\dfrac{S}{p}$ để giải quyết vấn đề.

Tình huống: Ba cây trong công viên được trồng tại ba đỉnh của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 m và 8 m, cạnh huyền 10 m. Nhóm cần (1) xác định vị trí đặt một cột đèn cách đều ba cây và tính khoảng cách từ cột đèn đến mỗi cây; (2) tính bán kính bồn hoa tròn lớn nhất có thể đặt vừa khít bên trong mảnh đất tam giác này. HS làm việc nhóm 4, hoàn thành trên bảng nhóm, sau đó dự kiến hoàn thiện phần trình bày ở nhà nếu chưa kịp.

Kết quả dự kiến: (1) Cột đèn đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp, nằm giữa cạnh huyền (trung điểm cạnh huyền), cách mỗi cây $R=\dfrac{10}{2}=5$ m. (2) Với $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$ m, $S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$ m², bán kính bồn tròn lớn nhất là $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{24}{12}=2$ m. Kết luận: cột đèn đặt tại trung điểm cạnh huyền, cách mỗi cây 5 m; bồn hoa có bán kính 2 m.