Giáo án Bài 27. Góc nội tiếp

Huy động kiến thức nền về đường tròn, cung và góc; tạo tình huống dẫn đến nhu cầu tìm mối liên hệ giữa góc nhìn từ một điểm trên đường tròn và cung bị chắn.

GV trình chiếu hình một vòng xoay tròn tâm O, hai lối vào A và B nằm trên đường tròn, cung AB không chứa điểm C được đánh dấu là $100^\circ$. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Điểm C nằm ở đâu so với đường tròn? (2) Góc $\widehat{ACB}$ (góc nhìn từ C đến hai lối A, B) có liên hệ gì với cung AB $=100^\circ$? (3) Nếu C di chuyển trên cung còn lại thì góc nhìn có thay đổi không? HS suy nghĩ cá nhân 1 phút rồi chia sẻ với bạn cùng bàn.

Dự đoán ban đầu của HS: điểm C nằm trên đường tròn; góc $\widehat{ACB}$ có liên hệ với cung AB và có thể bằng một nửa cung $100^\circ$, tức $50^\circ$. Nhiệm vụ học tập được xác định: tìm công thức liên hệ giữa góc có đỉnh trên đường tròn và cung bị chắn.

Nêu được định nghĩa góc nội tiếp; phát hiện và giải thích được số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn không chứa đỉnh, góc ở tâm chắn cùng cung gấp đôi góc nội tiếp.

Nhiệm vụ 1: Quan sát hình đường tròn tâm O với các điểm A, B, C và góc $\widehat{ACB}$; nêu đặc điểm đỉnh và hai cạnh của góc, từ đó phát biểu định nghĩa góc nội tiếp.
Nhiệm vụ 2: Dùng thước đo góc đo $\widehat{ACB}$, đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung AB; so sánh hai số đo; kéo điểm C trên đường tròn (qua học liệu NeoEdu) để kiểm tra nhận xét đúng trong nhiều trường hợp.
Nhiệm vụ 3: Phát biểu định lý và hoàn thành Phiếu học tập số 1.
Câu hỏi GV đặt ra: Hai cạnh CA và CB chứa những gì của đường tròn? Cung nào được gọi là cung bị chắn? Vì sao khi C ở phía cung nhỏ AB và phía cung lớn AB thì kết quả vẫn phải được phát biểu với cung không chứa C?

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường tròn. Ví dụ: $\widehat{ACB}$ với C thuộc đường tròn, CA và CB cắt đường tròn tại A, B.
Định lý: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (cung nằm bên trong góc và không chứa đỉnh): $\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$.
Góc ở tâm: $\widehat{AOB}=\overset{\frown}{AB}=2\cdot\widehat{ACB}$ khi cùng chắn cung AB.
Kết quả đo của HS: đo được $\widehat{ACB}\approx 50^\circ$ và $\widehat{AOB}\approx 100^\circ$ khi cung AB bằng $100^\circ$, đúng với định lý.

Phát biểu và chứng tỏ được hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung; nêu và giải thích được góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^\circ$.

Nhiệm vụ 1: Cho A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn. Hãy so sánh $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ADB}$. Xác định cung bị chắn của mỗi góc.
Nhiệm vụ 2: Cho đoạn AB là đường kính của đường tròn, điểm C thuộc đường tròn khác A, B. Tính $\widehat{ACB}$ và giải thích.
Nhiệm vụ 3: Hoàn thành Phiếu học tập số 1 (phần hệ quả) và viết lại hai hệ quả bằng lời của nhóm.
Câu hỏi GV đặt ra: Khi đổi đỉnh C sang D thì điều gì không đổi? Vì sao phải chỉ rõ cung không chứa đỉnh? Nếu cung bị chắn là nửa đường tròn thì số đo cung là bao nhiêu?

Hệ quả 1: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Với A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn, C và D cùng nằm trên cung AB không chứa đỉnh nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ (cùng bằng nửa cung AB). Cung bị chắn không nhất thiết là cung nhỏ; điều quyết định là cung không chứa các đỉnh.
Hệ quả 2: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo $90^\circ$. Ví dụ: AB là đường kính, cung AB không chứa C bằng $180^\circ$ nên $\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ$.
Lưu ý: Nếu đổi đỉnh sang phía cung còn lại thì góc có thể trở thành góc bù, nên phải chỉ rõ cung không chứa đỉnh.

Vận dụng định lý và hệ quả để tính số đo góc nội tiếp, cung bị chắn, và giải thích kết quả; trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kiểm tra kết quả.

HS làm Phiếu học tập số 2 gồm 8 câu. Câu 1 đến câu 6 làm nhanh cá nhân, đối chiếu trong nhóm. Câu 7 và câu 8 làm theo nhóm, viết lời giải đầy đủ trên bảng nhóm. Câu hỏi GV đặt ra: Đề bài cho cung nào? Cung đó có chứa đỉnh không? Kết quả có hợp lý với hình vẽ không?

Phiếu học tập số 2, đáp án:

1. Cung bị chắn $120^\circ$, góc nội tiếp là $60^\circ$.
2. Góc nội tiếp $35^\circ$, cung bị chắn là $70^\circ$.
3. AB là đường kính, C thuộc đường tròn: $\widehat{ACB}=90^\circ$.
4. Đỉnh góc nội tiếp nằm trên đường tròn: đáp án B.
5. Góc ở tâm $80^\circ$, góc nội tiếp chắn cùng cung nhỏ là $40^\circ$.
6. Đúng: hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
7. Với thứ tự A, B, C, D trên đường tròn: C và D cùng nằm trên cung AB không chứa đỉnh nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$. Cung bị chắn không nhất thiết là cung nhỏ.
8. Tam giác ABC nội tiếp, AB là đường kính $10$, $AC=6$: $\widehat{ACB}=90^\circ$ nên $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{100-36}=8$.
   GV đánh giá câu 7 và 8 theo thang 1 điểm: lập luận đúng 0,5; phép tính hoặc dẫn chứng chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2.

Vận dụng định lý góc nội tiếp vào tình huống thực tế, mô hình hoá bài toán góc nhìn từ một điểm trên đường tròn.

Trên một vòng xoay hình tròn tâm O, hai lối vào A và B sao cho cung AB không chứa điểm C là $130^\circ$, với C là điểm đứng của một người quan sát trên vòng xoay. Hãy tính góc nhìn $\widehat{ACB}$ từ C tới hai lối A và B. Sau đó, giải thích vì sao góc nhìn không thay đổi khi người quan sát di chuyển trên cung lớn AB và vẫn còn trên vòng xoay. Hoàn thành bài toán trong vòng 5 phút và trình bày ngắn gọn.

Lời giải: $\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot 130^\circ=65^\circ$.
Giải thích: Mọi điểm C trên cùng cung còn lại đều nhìn đoạn AB dưới góc nội tiếp chắn cùng cung AB, nên góc không đổi (hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Kết quả: góc nhìn là $65^\circ$.