Giáo án Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

HS nhận ra cần chọn một ẩn và biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn để dẫn tới một phương trình, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV nêu tình huống: "Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m và diện tích $40$ m$^2$. Tính chiều rộng mảnh vườn."
Câu hỏi GV đặt ra:

• Nếu gọi chiều rộng là $x$ (m) thì chiều dài bằng bao nhiêu?
• Diện tích mảnh vườn được viết thành biểu thức của $x$ như thế nào?
• Thử đoán: rộng $4$ m hoặc rộng $5$ m có thỏa đề bài không?
• Vì sao không thể thử mãi mà không tìm được cách giải tổng quát? Bài học hôm nay giúp ta giải quyết điều này.

HS đưa ra được: chiều dài là $x+3$ (m); diện tích là $x(x+3)=40$. Thử $x=4$ được $4 \cdot 7 = 28 \ne 40$, thử $x=5$ được $5 \cdot 8 = 40$ (thỏa mãn). HS nhận thấy việc thử nghiệm không tổng quát, cần có quy trình giải bằng phương trình. Nhiệm vụ học tập: nắm quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình và kiểm tra kết quả.

HS nêu được và vận dụng đúng 4 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, giải thích được vì sao phải đối chiếu điều kiện và loại nghiệm không phù hợp.

HS hoạt động nhóm 4 bằng kỹ thuật khăn trải bàn. Mỗi thành viên đảm nhiệm một bước, ghi kết quả vào ô tương ứng trên khăn, sau đó cả nhóm thống nhất và hoàn thiện quy trình. Nhiệm vụ được ghi trong Phiếu học tập số 1.
Nhiệm vụ: áp dụng quy trình để giải ví dụ: "Chữ nhật dài hơn rộng $3$ m, diện tích $40$ m$^2$. Tìm rộng."
Câu hỏi GV đặt ra:

• Bước 1: Vì sao cần đặt điều kiện $x > 0$?
• Bước 2: Viết phương trình biểu diễn diện tích theo $x$ như thế nào?
• Bước 3: Giải phương trình $x^2+3x-40=0$ ra những nghiệm nào?
• Bước 4: Vì sao loại nghiệm $x=-8$? Kết luận có đơn vị ra sao?

Quy trình 4 bước đã thống nhất:

• Bước 1: Gọi ẩn (kèm đơn vị) và đặt điều kiện. Ví dụ: gọi $x$ (m) là chiều rộng, $x > 0$.
• Bước 2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn và lập phương trình. Ví dụ: chiều dài $x+3$; $x(x+3)=40$, tức $x^2+3x-40=0$.
• Bước 3: Giải phương trình. Ví dụ: $(x-5)(x+8)=0$, suy ra $x=5$ hoặc $x=-8$.
• Bước 4: Đối chiếu điều kiện, loại nghiệm không thỏa và trả lời. Ví dụ: $x=-8$ loại vì $x > 0$; chiều rộng là $5$ m.
  Kiến thức HS rút ra: nghiệm của phương trình chưa chắc thỏa tình huống thực tế, phải đối chiếu điều kiện trước khi kết luận.

HS biểu diễn được các đại lượng (chiều dài, cạnh, thời gian) theo ẩn trong các quan hệ diện tích và chuyển động, từ đó lập được phương trình bậc hai.

HS làm việc cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 2 gồm bảng biểu diễn đại lượng và các tình huống mẫu.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Hình chữ nhật có chiều rộng $x$, chiều dài $x+2$ thì diện tích là bao nhiêu?
• Hình vuông cạnh $x$ tăng thêm $2$ m thì cạnh mới là bao nhiêu và diện tích mới là bao nhiêu?
• Đi quãng đường $120$ km với vận tốc $x$ km/h thì thời gian là bao nhiêu? Vì sao cần $x > 0$?
• Vận tốc tăng $10$ km/h thì thời gian mới được biểu diễn ra sao?

Bảng đã hoàn thiện trong Phiếu học tập số 2:

• Hình chữ nhật rộng $x$, dài $x+2$: diện tích $x(x+2)$.
• Hình vuông cạnh $x$ tăng $2$ m: cạnh mới $x+2$; diện tích mới $(x+2)^2$, diện tích tăng $(x+2)^2-x^2$.
• Chuyển động: thời gian $t = \dfrac{s}{v}$; với $s=120$ km, vận tốc $x$ km/h ($x > 0$), thời gian là $\dfrac{120}{x}$ giờ. Đáp án đúng là C.
• Khi vận tốc là $x+10$ km/h, thời gian là $\dfrac{120}{x+10}$ giờ.
  Kiến thức HS rút ra: thời gian bằng quãng đường chia vận tốc; diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng; khi biểu diễn cần ghi rõ điều kiện của ẩn.

HS vận dụng quy trình 4 bước để giải các bài toán về diện tích hình chữ nhật, hình vuông và bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích.

HS làm việc cá nhân rồi đổi chéo kiểm tra theo cặp. GV chiếu các đề sau:

1. Hình chữ nhật có chiều rộng $x$, chiều dài $x+2$ và diện tích $48$ m$^2$. Tìm chiều rộng.
2. Hai số nguyên dương liên tiếp có tích $72$. Tìm số nhỏ.
3. Hình vuông được tăng cạnh thêm $2$ m thì diện tích tăng thêm $28$ m$^2$. Tìm cạnh ban đầu.
4. Tổng hai số dương bằng $10$, tích bằng $21$. Tìm số lớn.
   Câu hỏi GV đặt ra: "Em chọn ẩn là gì? Vì sao nghiệm này được nhận hoặc bị loại?"

Đáp án và lời giải tóm tắt:

1. $x(x+2)=48$, $x^2+2x-48=0$, $(x-6)(x+8)=0$, $x=6$ (nhận) hoặc $x=-8$ (loại). Chiều rộng là $6$ m.
2. Gọi số nhỏ là $n$, $n(n+1)=72$, $n^2+n-72=0$, $n=8$ (nhận) hoặc $n=-9$ (loại vì số nguyên dương). Số nhỏ là $8$.
3. $(x+2)^2-x^2=28$, $4x+4=28$, $x=6$ m (nhận).
4. Gọi hai số là $t$ và $10-t$, $t(10-t)=21$, $t^2-10t+21=0$, $t=3$ hoặc $t=7$. Số lớn là $7$.

HS vận dụng công thức $t = \dfrac{s}{v}$ để lập phương trình trong chuyển động; nhận biết điều kiện của ẩn qua các câu hỏi trắc nghiệm và đúng sai.

HS làm việc theo nhóm 2 bằng học liệu số NeoEdu (phần bài tập tương tác) và vở. GV chiếu các đề sau:
4. Đi $120$ km với vận tốc $x$ km/h, thời gian là: A. $120x$; B. $\dfrac{x}{120}$; C. $\dfrac{120}{x}$; D. $120-x$.
6. Nhận định: "Nghiệm âm luôn có ý nghĩa khi $x$ là chiều dài." Đúng hay sai?
7. Một xe đi đều quãng đường $60$ km. Nếu đi với vận tốc tăng $10$ km/h trên cùng quãng đường thì thời gian giảm $30$ phút (không tính thời gian dừng). Tìm vận tốc ban đầu.
8. Vườn hình chữ nhật có chu vi $28$ m, diện tích $45$ m$^2$. Tìm kích thước.
Câu hỏi GV đặt ra: "Đổi $30$ phút thành bao nhiêu giờ để đồng nhất đơn vị?" "Vì sao hai kích thước là nghiệm của $t^2-14t+45=0$?"

Đáp án:
4. Đáp án C, vì thời gian bằng quãng đường chia vận tốc, $x > 0$.
6. Sai, vì chiều dài phải có $x > 0$, nghiệm âm bị loại.
7. Đổi $30$ phút $= \dfrac{1}{2}$ giờ. Phương trình: $\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+10}=\dfrac{1}{2}$, suy ra $x(x+10)=1200$, $x^2+10x-1200=0$, $x=30$ (nhận) hoặc $x=-40$ (loại). Vận tốc ban đầu là $30$ km/h.
8. Gọi hai kích thước là $x$ và $y$, $x+y=14$, $xy=45$. Hai kích thước là nghiệm của $t^2-14t+45=0$, tức $t=5$ hoặc $t=9$. Kích thước là $5$ m và $9$ m.

HS vận dụng quy trình 4 bước vào bài toán thực tế về diện tích, rèn luyện khả năng mô hình hoá và trình bày lời giải hoàn chỉnh.

Tình huống: Nhà trường làm một bồn hoa hình chữ nhật có diện tích $96$ m$^2$, chiều dài hơn chiều rộng $4$ m. Hãy tìm kích thước bồn hoa và trình bày lời giải theo đúng 4 bước.
Nhiệm vụ mở rộng về nhà: lấy một khu vực thực tế ở trường (sân, bồn hoa, bảng tin) và tự đặt đề bài có dạng tương tự, giải và kiểm tra kết quả bằng cách đo đạc hoặc ước lượng.

Lời giải tham khảo: Gọi chiều rộng là $x$ (m), $x > 0$; chiều dài là $x+4$ (m). Ta có $x(x+4)=96$, tức $x^2+4x-96=0$, $(x-8)(x+12)=0$, $x=8$ (nhận) hoặc $x=-12$ (loại). Bồn hoa rộng $8$ m, dài $12$ m.
Sản phẩm về nhà: một đề bài thực tế cùng lời giải đầy đủ, có ghi rõ ẩn, điều kiện, phương trình và kết luận với đơn vị.