Giáo án Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

HS nhận ra mối liên hệ giữa tổng, tích hai nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai, từ đó dẫn dắt vào định lí Viète.

GV trình chiếu phương trình $x^2-5x+6=0$ và nêu: “Hai nghiệm của phương trình là $x_1=2$, $x_2=3$. Hãy tính $x_1+x_2$, $x_1x_2$ rồi so sánh với các hệ số $a=1$, $b=-5$, $c=6$.” HS làm việc cá nhân trong 2 phút, sau đó chia sẻ với bạn cùng bàn. GV mở trang bài học NeoEdu cho HS xem phần đặt vấn đề.

• Tổng hai nghiệm: $x_1+x_2=2+3=5$; tích hai nghiệm: $x_1x_2=2\cdot 3=6$.
• Nhận xét: $5=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-5)}{1}$ và $6=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{1}$.
• Kết luận sơ bộ: tổng và tích hai nghiệm có thể tính trực tiếp từ các hệ số $a$, $b$, $c$ mà không cần giải phương trình.

HS phát biểu được định lí Viète thuận, hiểu vai trò của điều kiện $a\ne 0$ và $\Delta\ge 0$, và vận dụng được định lí vào các phương trình cụ thể.

HS hoạt động theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm giải nghiệm từng phương trình, tính tổng và tích hai nghiệm, sau đó so sánh với $-\dfrac{b}{a}$ và $\dfrac{c}{a}$ rồi rút ra định lí. Trọng tâm: nếu $x_1$, $x_2$ là nghiệm thì $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$; cần kiểm tra $\Delta\ge 0$ trước khi áp dụng.

• Định lí Viète (thuận): Nếu $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) thì $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Điều kiện áp dụng: phương trình phải có nghiệm thực, tức là $\Delta=b^2-4ac\ge 0$.
• Kết quả phiếu: $x^2-5x+6=0$ có nghiệm $2$, $3$ (tổng $5$, tích $6$); $2x^2-3x-5=0$ có nghiệm $-1$, $\dfrac{5}{2}$ (tổng $\dfrac{3}{2}=-\dfrac{b}{a}$, tích $-\dfrac{5}{2}=\dfrac{c}{a}$); $x^2+2x-8=0$ có nghiệm $2$, $-4$ (tổng $-2=-\dfrac{b}{a}$, tích $-8=\dfrac{c}{a}$).
• Lỗi cần tránh: viết tổng nghiệm là $\dfrac{b}{a}$ thay vì $-\dfrac{b}{a}$.

HS vận dụng định lí Viète đảo để tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ (giải $t^2-St+P=0$, điều kiện $S^2-4P\ge 0$), và tính $x_1^2+x_2^2$ mà không giải nghiệm.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ 1: tìm hai số có tổng 8, tích 15 bằng cách giải $t^2-8t+15=0$. Nhiệm vụ 2: kiểm tra xem có tồn tại hai số thực có tổng 2, tích 5 không. Nhiệm vụ 3: với $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của $x^2-7x+10=0$, tính $x_1^2+x_2^2$ bằng công thức $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

• Định lí Viète đảo: nếu hai số có tổng $S$, tích $P$ và $S^2-4P\ge 0$ thì hai số đó là nghiệm của $t^2-St+P=0$.
• Nhiệm vụ 1: $t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0$ nên hai số là $3$ và $5$; số lớn là $5$.
• Nhiệm vụ 2: $S^2-4P=4-20=-16<0$ nên không tồn tại hai số thực như vậy (kết luận Sai).
• Nhiệm vụ 3: $S=7$, $P=10$; $x_1^2+x_2^2=49-20=29$.
• Biểu thức đối xứng khác: $(x_1-x_2)^2=S^2-4P$; ví dụ $x^2-4x-1=0$ có $(x_1-x_2)^2=16+4=20$.

HS vận dụng thành thạo định lí Viète thuận, đảo và biểu thức đối xứng; trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kiểm tra kết quả.

Phần A (làm nhanh trên NeoEdu, 8 phút): bài 1 đến bài 6. Phần B (làm nhóm, 17 phút): bài 7 và bài 8, mỗi nhóm trình bày trên bảng nhóm. GV dùng bài tập tương tác của NeoEdu để HS tự kiểm tra đáp án ngay.

• Bài 1: tổng nghiệm của $x^2-9x+14=0$ là $9$ (vì $-\dfrac{b}{a}=9$).
• Bài 2: tích nghiệm của $x^2-9x+14=0$ là $14$ (vì $\dfrac{c}{a}=14$).
• Bài 3: hai số có tổng $5$, tích $6$; tổng bình phương $25-12=13$.
• Bài 4: $t^2-8t+15=(t-3)(t-5)$; số lớn là $5$.
• Bài 5: đáp án B, $x^2+x-6=0$ (vì $S=-1$, $P=-6$).
• Bài 6: Sai, vì $\Delta=4-20=-16<0$.
• Bài 7: $(x_1-x_2)^2=S^2-4P=16+4=20$. Thang điểm: lập luận đúng 0,5; phép tính chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2.
• Bài 8: thế $x=2$: $4-10+m=0$ nên $m=6$; với $m=6$ phương trình là $x^2-5x+6=0$, tổng $5$ nên nghiệm kia là $3$. Thang điểm: lập luận đúng 0,5; phép tính chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2.

HS mô hình hoá tình huống thực tế về hình chữ nhật bằng hệ thức Viète đảo, giải phương trình và đối chiếu kết quả với điều kiện thực tế.

Đề bài: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi $68$ m và diện tích $240$ m². Tìm hai kích thước của khu đất. Gợi ý: gọi hai kích thước là $x$ và $y$, khi đó $x+y=34$ (nửa chu vi) và $xy=240$. HS dùng định lí Viète đảo để lập phương trình $t^2-34t+240=0$ và giải. Bài mở rộng cho HS khá giỏi: giải thích vì sao không thể có khu đất chu vi $68$ m và diện tích $300$ m².

• Mô hình: $x+y=34$, $xy=240$, nên $x$, $y$ là nghiệm của $t^2-34t+240=0$.
• Giải: $\Delta'=17^2-240=289-240=49$, $t=17\pm 7$, tức $t=24$ hoặc $t=10$.
• Kiểm tra: $24+10=34$ và $24\cdot 10=240$; chu vi $2(24+10)=68$ m, diện tích $240$ m² đúng.
• Kết luận: khu đất dài $24$ m, rộng $10$ m.
• Mở rộng: với $S=34$, $P=300$ thì $S^2-4P=1156-1200=-44<0$ nên không tồn tại khu đất như vậy.