Giáo án Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

HS nhận ra một phương trình bậc nhất hai ẩn chưa đủ để xác định hai số, từ đó nhu cầu có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và cần phương pháp giải.

GV nêu bài toán: Tìm hai số x và y biết tổng của chúng bằng 7 và 2 lần số thứ nhất trừ số thứ hai bằng 5. HS (cá nhân, 1 phút) viết hai điều kiện thành hai phương trình: $x+y=7$ và $2x-y=5$. HS thử nhẩm một vài cặp số thoả mãn phương trình thứ nhất, sau đó kiểm tra phương trình thứ hai.

Hai phương trình $x+y=7$ và $2x-y=5$. Kết luận sơ bộ: chỉ có một cặp số (x; y) thoả mãn đồng thời cả hai phương trình; nhẩm tay khó tìm, cần phương pháp giải hệ. Ví dụ HS thử cặp (4; 3): $4+3=7$ đúng và $2\cdot4-3=5$ đúng.

HS nêu và vận dụng được cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế; biết chọn ẩn có hệ số 1 hoặc −1 để hạn chế phân số.

Xét hệ $x+y=7$ và $2x-y=5$ (đã đặt ra ở hoạt động khởi động). HS làm Phiếu học tập số 1 theo nhóm 4: (1) Từ phương trình $x+y=7$, rút $y$ theo $x$. (2) Thay biểu thức của $y$ vào phương trình $2x-y=5$ và giải phương trình một ẩn. (3) Tìm $y$ rồi kiểm tra lại nghiệm trong cả hai phương trình. (4) Nhận xét: vì sao nên rút ẩn có hệ số 1 hoặc −1? Lưu ý khi thế phải đặt biểu thức trong ngoặc.

Các bước của phương pháp thế: (1) Từ $x+y=7$ rút $y=7-x$. (2) Thế vào $2x-y=5$: $2x-(7-x)=5$, suy ra $3x-7=5$, $3x=12$, $x=4$. (3) $y=7-4=3$. (4) Kiểm tra: $4+3=7$ và $2\cdot4-3=5$ đều đúng. Kết luận: nghiệm của hệ là $(4;3)$. Nhận xét: rút ẩn có hệ số 1 hoặc −1 nên tránh được phân số.

HS giải thích được và vận dụng được phương pháp cộng đại số, biết nhân hai phương trình với số khác 0 để làm đối hệ số của một ẩn và tránh lỗi quên cộng vế phải.

Giải lại hệ $x+y=7$ và $2x-y=5$ bằng phương pháp cộng đại số, làm Phiếu học tập số 2 theo cặp: (1) Nhận xét hệ số của $y$ ở hai phương trình là gì? (2) Cộng hai phương trình theo vế để khử $y$, nhớ cộng cả vế trái và vế phải. (3) Giải phương trình một ẩn tìm $x$, rồi tìm $y$. (4) Thử lại nghiệm vào hệ ban đầu. Bài toán thêm: Nếu hệ số của $y$ không đối nhau, làm thế nào để đưa về hệ số đối nhau?

Hệ số của $y$ là $1$ và $-1$, đối nhau. Cộng hai phương trình: $(x+y)+(2x-y)=7+5$, tức $3x=12$, suy ra $x=4$. Thế vào $x+y=7$: $y=3$. Thử lại: $4+3=7$ và $2\cdot4-3=5$. Kết luận: nghiệm $(4;3)$, trùng với phương pháp thế. Khi hệ số không đối nhau: nhân một hoặc cả hai phương trình với số khác 0 thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau rồi cộng.

HS củng cố cách thế, cộng đại số và nhận biết nhanh các tình huống hệ có nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

HS làm nhanh các bài 1 đến 6 theo nhóm, ghi đáp án vào bảng nhóm. Bài 1: Hệ $x+y=9$, $x-y=3$. Tìm $x$. Bài 2: Cùng hệ đó, tìm $y$. Bài 3: Từ $2x+y=7$ rút $y$ được: A. $y=7+2x$; B. $y=7-2x$; C. $y=2x-7$; D. $y=\dfrac{7}{2}-x$. Bài 4: Hệ $2x+y=11$, $x-y=1$. Tìm $x$. Bài 5: Hệ $3x+2y=12$, $x+2y=8$. Tìm $y$. Bài 6: Hệ $x+y=1$, $2x+2y=2$ chỉ có một nghiệm. Đúng hay sai? GV chiếu bài tương tác trên NeoEdu để HS kiểm tra đáp án sau khi nhóm thống nhất.

Bài 1: $x=6$ (cộng hai phương trình: $2x=12$). Bài 2: $y=3$ (thế $x=6$ vào $y=9-6$). Bài 3: đáp án B, $y=7-2x$. Bài 4: $x=4$ (cộng: $3x=12$), $y=3$. Bài 5: $y=3$ (trừ hai phương trình: $2x=4$, $x=2$; thay vào $2+2y=8$). Bài 6: Sai, vì hai phương trình tương đương (cùng là $x+y=1$) nên hệ có vô số nghiệm.

HS giải được hệ hai phương trình bằng phương pháp phù hợp, trình bày lời giải đầy đủ và kiểm tra nghiệm; nhận biết được hệ vô nghiệm.

HS làm Bài 7 và Bài 8 cá nhân, sau đó đổi vở kiểm tra chéo theo thang điểm 1 điểm (lập luận đúng 0,5; phép tính hoặc dẫn chứng chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2). Bài 7: Giải hệ $2x-3y=1$, $4x+3y=17$. Bài 8: Giải hệ $x-2y=3$, $2x-4y=8$.

Bài 7: Cộng hai phương trình: $6x=18$, $x=3$. Thế vào $2x-3y=1$: $6-3y=1$, $y=\dfrac{5}{3}$. Thử lại: $2\cdot3-3\cdot\dfrac{5}{3}=1$ và $4\cdot3+3\cdot\dfrac{5}{3}=17$ đều đúng. Kết luận: nghiệm $\left(3;\dfrac{5}{3}\right)$. Bài 8: Nhân phương trình thứ nhất với 2 được $2x-4y=6$, mâu thuẫn với $2x-4y=8$. Kết luận: hệ vô nghiệm.

HS mô hình hoá một tình huống mua bán bằng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, giải và kết luận đúng đơn vị.

Bạn An mua 3 cây bút và 2 quyển vở hết 21 nghìn đồng. Bạn Bình mua 1 cây bút và 2 quyển vở hết 15 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi cây bút và mỗi quyển vở là bao nhiêu nghìn đồng? Yêu cầu: (1) Gọi ẩn và đơn vị. (2) Lập hệ phương trình. (3) Giải hệ bằng phương pháp phù hợp. (4) Thử lại và kết luận. Bài này có thể giao về nhà nếu hết giờ.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là giá một cây bút và một quyển vở (nghìn đồng, $x>0$, $y>0$). Hệ: $3x+2y=21$, $x+2y=15$. Trừ hai phương trình: $2x=6$, $x=3$. Thế: $3+2y=15$, $y=6$. Thử lại: $3\cdot3+2\cdot6=21$ và $3+2\cdot6=15$ đều đúng. Kết luận: một cây bút giá 3 nghìn đồng, một quyển vở giá 6 nghìn đồng.