Giáo án Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Huy động kiến thức về thay số vào biểu thức và so sánh hai vế; xác định vấn đề: khi nào một cặp số là nghiệm của một phương trình và khi nào là nghiệm của hệ.

HS đọc đề: Cặp $(2;1)$ có là nghiệm của hệ $x+y=3$, $2x-y=3$ không? HS thử lần lượt: thay $x=2$, $y=1$ vào từng phương trình, tính hai vế rồi so sánh. GV đặt thêm câu hỏi: Nếu chỉ thỏa một phương trình thì cặp số đó có là nghiệm của hệ không?

HS trả lời: $2+1=3$ đúng; $2\cdot 2-1=3$ đúng; vậy $(2;1)$ thỏa cả hai phương trình nên là nghiệm của hệ. Nếu chỉ thỏa một phương trình thì chưa đủ để là nghiệm của hệ. HS nêu được vấn đề cần giải quyết: nghiệm của phương trình và nghiệm của hệ khác nhau như thế nào.

Nêu được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn; giải thích được nghiệm là cặp có thứ tự $(x;y)$ làm hai vế bằng nhau và tập nghiệm biểu diễn bởi một đường thẳng.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (1) Xét bốn phương trình $x^2+y=3$, $0x+0y=1$, $2x-3y=5$, $xy=2$ và chỉ ra phương trình nào là bậc nhất hai ẩn, giải thích vì sao. (2) Với phương trình $2x+y=8$, kiểm tra các cặp $(1;4)$, $(3;2)$, $(2;1)$, $(0;7)$, cặp nào là nghiệm. (3) Từ $2x+y=8$, viết $y$ theo $x$ và nhận xét dạng đường thẳng biểu diễn tập nghiệm. HS có thể dùng học liệu NeoEdu phần bài giảng để đối chiếu định nghĩa.

(1) Phương trình bậc nhất hai ẩn là $2x-3y=5$ vì có dạng $ax+by=c$ với $a=2$, $b=-3$ không đồng thời bằng 0; ba phương trình còn lại không có dạng này ($x^2+y=3$ có bình phương ẩn; $0x+0y=1$ có $a=b=0$; $xy=2$ có tích hai ẩn). (2) Chỉ cặp $(3;2)$ là nghiệm: $2\cdot 3+2=8$. Các cặp $(1;4)$, $(2;1)$, $(0;7)$ không thỏa. (3) $y=8-2x$, tập nghiệm là các cặp $(x;8-2x)$, biểu diễn bởi một đường thẳng. Kiến thức HS rút ra: phương trình $ax+by=c$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn; nghiệm là cặp có thứ tự $(x;y)$; đổi thứ tự $(2;3)$ và $(3;2)$ có thể cho kết quả khác nhau.

Nêu được khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; giải thích được nghiệm của hệ phải thỏa đồng thời cả hai phương trình; nhận biết số nghiệm qua vị trí tương đối của hai đường thẳng.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, xét hệ $x+y=5$, $x-y=1$. Nhiệm vụ: (a) Kiểm tra $(3;2)$ có là nghiệm của hệ không. (b) Kiểm tra $(2;3)$ có là nghiệm của hệ không. (c) Giải thích vì sao nghiệm của hệ phải thỏa cả hai phương trình, không chỉ một. (d) Vẽ hai đường thẳng $x+y=5$ và $x-y=1$ trên cùng mặt phẳng tọa độ (trên giấy kẻ ô), cho biết giao điểm, rồi hoàn thiện kết luận về số nghiệm của hệ theo ba trường hợp: cắt nhau, song song phân biệt, trùng nhau.

(a) $(3;2)$ là nghiệm: $3+2=5$ và $3-2=1$ đều đúng. (b) $(2;3)$ không là nghiệm: $2+3=5$ đúng nhưng $2-3=-1\neq 1$. (c) Nghiệm của hệ phải làm đồng thời hai đẳng thức đúng, vì hệ là sự kết hợp của hai điều kiện; chỉ thỏa một phương trình thì chưa đủ. (d) Hai đường thẳng cắt nhau tại $(3;2)$, hệ có đúng một nghiệm. Kết luận HS rút ra: hệ có một nghiệm khi hai đường thẳng cắt nhau; vô nghiệm khi hai đường thẳng song song phân biệt; vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau.

Vận dụng được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm để làm các bài tập nhận biết và tính toán đơn giản.

HS làm việc theo cặp đôi, thực hiện các bài tập sau: (1) Phương trình nào là bậc nhất hai ẩn: A. $x^2+y=3$; B. $0x+0y=1$; C. $2x-3y=5$; D. $xy=2$. (2) Với $x+y=7$ và $x=3$, tìm $y$. (3) Cặp nào thỏa $2x+y=8$: A. $(1;4)$; B. $(3;2)$; C. $(2;1)$; D. $(0;7)$. (4) Với $3x-y=4$ và $y=2$, tìm $x$. Cặp đôi làm trên giấy nháp, sau đó đổi bài kiểm tra chéo. Có thể dùng phần bài tập tương tác của học liệu NeoEdu để kiểm tra đáp án.

(1) Đáp án C: $2x-3y=5$ có hai hệ số 2 và $-3$, không có tích hay bình phương ẩn. (2) $y=4$ vì $y=7-3=4$. (3) Đáp án B: $2\cdot 3+2=8$. (4) $x=2$ vì $3x=4+2=6$ nên $x=2$.

Vận dụng được điều kiện nghiệm của hệ để đánh giá khẳng định và lập luận số nghiệm của hệ qua hệ số của hai phương trình.

HS chia nhóm 4 theo kỹ thuật mảnh ghép: mỗi HS nhận một thẻ bài (4, 5, 6 hoặc 8), làm bài cá nhân rồi trình bày cho nhóm. Đề: (4) Xét hệ $x+y=5$, $x-y=1$: a) $(3;2)$ là nghiệm; b) $(2;3)$ là nghiệm; c) Nghiệm phải thỏa cả hai dòng. Xác định Đúng/Sai cho từng ý. (5) Hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại $(4;-2)$; nghiệm có hoành độ bao nhiêu? (6) Hệ $x+y=2$, $2x+2y=5$ có bao nhiêu nghiệm: A. 0; B. 1; C. 2; D. Vô số? (8) Giải thích vì sao hệ $x+y=3$, $2x+2y=6$ có vô số nghiệm.

(4) a) Đúng; b) Sai; c) Đúng. (5) Hoành độ là 4 vì giao điểm $(4;-2)$ có hoành độ bằng 4. (6) Đáp án A: nhân phương trình đầu với 2 được $2x+2y=4$, mâu thuẫn với $2x+2y=5$, nên hệ vô nghiệm. (8) Lập luận: nhân phương trình thứ nhất với 2 được $2x+2y=6$, trùng với phương trình thứ hai; mọi cặp $(t;3-t)$ với $t$ thực đều thỏa cả hai phương trình nên hệ có vô số nghiệm. Thang điểm tham khảo cho câu (8): lập luận đúng 0,5; dẫn chứng hoặc phép tính chính xác 0,3; diễn đạt và kết luận 0,2.

Mô hình hoá được tình huống thực tế bằng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; giải, kiểm tra kết quả và diễn đạt kết luận bằng ngôn ngữ thực tế.

Tình huống: Bạn An mua 3 quyển vở và 2 cây bút hết 22 nghìn đồng. Bạn Bình mua 2 quyển vở và 4 cây bút hết 28 nghìn đồng. Gọi $x$ là giá một quyển vở, $y$ là giá một cây bút (đơn vị: nghìn đồng). Nhiệm vụ: (a) Lập hệ phương trình. (b) Kiểm tra $(4;5)$ có là nghiệm của hệ không. (c) Giải hệ bằng cách biểu diễn $x$ theo $y$ rồi thế vào phương trình còn lại. (d) Nêu kết luận bằng lời trong tình huống thực tế. Nhiệm vụ này có thể giao về nhà để HS hoàn thành và nộp lại.

(a) Hệ: $3x+2y=22$ và $2x+4y=28$. (b) Thay $(4;5)$: $3\cdot 4+2\cdot 5=22$ đúng; $2\cdot 4+4\cdot 5=28$ đúng. (c) Từ $2x+4y=28$ suy ra $x=14-2y$; thế vào $3x+2y=22$: $3(14-2y)+2y=22$, suy ra $42-4y=22$, $y=5$, $x=4$. (d) Giá một quyển vở là 4 nghìn đồng, giá một cây bút là 5 nghìn đồng. Kiến thức HS rút ra: mô hình hoá bằng hệ phương trình, giải và kiểm tra nghiệm trong bối cảnh thực tế.