Giáo án Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

HS nhận biết được phương trình bậc hai qua bậc của ẩn và thấy nhu cầu cần có công thức tổng quát để giải.

HS quan sát bốn phương trình sau và trả lời: phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn?

• (a) $3x^2+2x-5=0$
• (b) $4x-7=0$
• (c) $x^3-2x^2+1=0$
• (d) $x^2-9=0$
  Sau đó HS đặt câu hỏi: Làm thế nào để giải nhanh mọi phương trình dạng này mà không phải đoán nghiệm?

Đáp án: (a) và (d) là phương trình bậc hai vì bậc cao nhất của ẩn bằng 2. (b) là phương trình bậc nhất, (c) là phương trình bậc ba.
Kết luận dự kiến: cần có một công thức chung cho mọi phương trình có dạng $ax^2+bx+c=0$ để tìm nghiệm.

HS nêu được định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, giải thích được điều kiện $a\neq 0$ và xác định đúng các hệ số $a$, $b$, $c$ (kể cả dấu).

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: đưa từng phương trình về dạng $ax^2+bx+c=0$, sau đó xác định $a$, $b$, $c$. Giải thích vì sao phải có $a\neq 0$. Khi $a=0$ thì phương trình trở thành dạng nào?

Kiến thức HS rút ra:

• Phương trình bậc hai một ẩn: $ax^2+bx+c=0$, $a\neq 0$.
• Nếu $a=0$ thì phương trình là $bx+c=0$, đây là phương trình bậc nhất.
• Hệ số $b$ là số có dấu: lấy đúng dấu khi đọc hệ số.
  Kết quả bảng xác định hệ số:
• $3x^2-x+2=0$: $a=3$, $b=-1$, $c=2$.
• $x^2-4=0$: $a=1$, $b=0$, $c=-4$.
• $5x^2+x=0$: $a=5$, $b=1$, $c=0$.
• $-2x^2+7=3x$ đưa về $-2x^2-3x+7=0$: $a=-2$, $b=-3$, $c=7$.

HS tính được biệt thức $\Delta=b^2-4ac$, nêu được số nghiệm theo dấu của $\Delta$ và giải được phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm.

Bước 1: GV làm mẫu ví dụ $x^2-5x+6=0$: tính $\Delta$ rồi tìm nghiệm.
Bước 2: Nhóm 4 HS làm Phiếu học tập số 2. Các nhóm tính $\Delta$ cho ba phương trình: $x^2-6x+5=0$, $x^2-8x+16=0$, $x^2+1=0$. Từ đó suy ra số nghiệm và tìm nghiệm (nếu có). Nhóm tự rút ra quy luật giữa dấu của $\Delta$ và số nghiệm.

Kết quả Phiếu 2:

• $x^2-6x+5=0$: $\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16>0$. Hai nghiệm $x=\dfrac{6\pm 4}{2}$, tức $x=5$ hoặc $x=1$.
• $x^2-8x+16=0$: $\Delta=64-64=0$. Nghiệm kép $x=\dfrac{8}{2}=4$.
• $x^2+1=0$: $\Delta=0-4=-4<0$. Phương trình không có nghiệm thực.
  Ví dụ GV làm mẫu: $x^2-5x+6=0$ có $\Delta=25-24=1$, $x=\dfrac{5\pm 1}{2}$, nên $x=3$ hoặc $x=2$.
  Kiến thức HS rút ra:
• $\Delta>0$: hai nghiệm phân biệt $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta=0$: nghiệm kép $x=-\dfrac{b}{2a}$.
• $\Delta<0$: không có nghiệm thực.

HS giải được phương trình khuyết bằng cách lấy căn hoặc phân tích nhân tử, và biết kiểm tra nghiệm bằng cách thay thử để phát hiện lỗi dấu.

GV đưa hai phương trình khuyết để HS giải theo cặp đôi:

• $2x^2-18=0$ (khuyết $b$ và $c$ không nằm cùng phía): lấy căn.
• $x^2-4x=0$ (khuyết $c$): phân tích nhân tử.
  Sau đó HS kiểm tra nghiệm $x=2$ hoặc $x=3$ của $x^2-5x+6=0$ bằng cách thay vào phương trình.

Kết quả:

• $2x^2-18=0 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-3$.
• $x^2-4x=0 \Leftrightarrow x(x-4)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=4$.
• Thay $x=2$ vào $x^2-5x+6$: $4-10+6=0$, đúng. Thay $x=3$: $9-15+6=0$, đúng.
  Kiến thức HS rút ra: với phương trình khuyết, chọn cách lấy căn hoặc phân tích nhân tử để giải nhanh; sau khi dùng công thức nghiệm phải thay thử để phát hiện lỗi dấu.

HS vận dụng công thức nghiệm, biệt thức và phương trình khuyết để giải các bài tập, đồng thời rèn kĩ năng kiểm tra và trình bày lời giải.

Lớp chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm làm một trạm trong 6 phút rồi luân chuyển. Phiếu học tập số 3 gồm 8 bài tập:

• Trạm 1: bài 1 đến bài 4.
• Trạm 2: bài 5 và bài 6.
• Trạm 3: bài 7 và bài 8.
  HS có thể dùng học liệu NeoEdu để kiểm tra đáp án các bài tương tác.

Đề và đáp án:

1. Biệt thức của $x^2-6x+5=0$: $\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16$.
2. Nghiệm lớn của $x^2-6x+5=0$: $x=\dfrac{6+4}{2}=5$; nghiệm còn lại là $1$. Đáp số: $5$.
3. Nghiệm kép của $x^2-8x+16=0$: $(x-4)^2=0$, $x=4$.
4. Số nghiệm thực của $x^2+1=0$: vì $x^2\geq 0$ nên không thể bằng $-1$. Đáp án đúng: A (0 nghiệm).
5. Nghiệm dương của $2x^2-18=0$: $x^2=9$, nghiệm dương là $3$.
6. $x^2-4x=0$ có nghiệm $0$ và $4$: Đúng, vì $x(x-4)=0$.
7. Giải $2x^2-7x+3=0$: $\Delta=49-24=25$, $x=\dfrac{7\pm 5}{4}$, suy ra $x=3$ hoặc $x=\dfrac{1}{2}$.
8. Tìm $m$ để $x^2-2x+m=0$ có nghiệm kép: $\Delta'=\Delta=4-4m=0$, suy ra $m=1$; khi đó nghiệm kép $x=1$.

HS lập được phương trình bậc hai từ bài toán thực tế, giải và chọn nghiệm phù hợp với ý nghĩa thực tế.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m và diện tích $40$ m$^2$. Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn. Gợi ý: đặt chiều rộng là $x$ (m), $x>0$.

Lời giải dự kiến:

• Đặt chiều rộng là $x$ (m), $x>0$; chiều dài là $x+3$ (m).
• Diện tích: $x(x+3)=40$, tức $x^2+3x-40=0$.
• $\Delta=9+160=169$, $\sqrt{\Delta}=13$.
• $x=\dfrac{-3\pm 13}{2}$, suy ra $x=5$ hoặc $x=-8$.
• Loại $x=-8$ vì độ dài phải dương. Vậy chiều rộng $5$ m, chiều dài $8$ m.
• Kiểm tra: $5\cdot 8=40$, đúng.