Giáo án Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Huy động kiến thức về lũy thừa bậc hai và nhận ra $(-x)^2$ luôn bằng $x^2$, tạo nền cho tính chất đối xứng của hàm số $y=ax^2$.

GV yêu cầu HS tính nhanh các giá trị sau: $3^2$, $(-3)^2$, $2\cdot 3^2$, $2\cdot(-3)^2$, $(-5)^2$, $5^2$. Sau đó HS trả lời câu hỏi: Vì sao $(-3)^2$ và $3^2$ bằng nhau? Điều này có ý nghĩa gì khi tính $y=2x^2$ với $x=3$ và $x=-3$?

HS nêu được: $3^2=9$, $(-3)^2=9$, $2\cdot 3^2=18$, $2\cdot(-3)^2=18$, $(-5)^2=25$, $5^2=25$. Kết luận: $(-x)^2=x^2$ với mọi số thực $x$, nên hai giá trị $x$ đối nhau cho cùng một giá trị $y=2x^2$. Đây là lí do đồ thị sẽ đối xứng qua trục $Oy$.

Nêu được tập xác định của hàm số $y=ax^2$ ($a\ne 0$), giải thích tính đối xứng và nêu được dấu của $y$ theo dấu của $a$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm lập bảng giá trị của $y=2x^2$ và $y=-2x^2$ với $x\in\{-2;-1;0;1;2\}$, sau đó trả lời: (1) Hàm số $y=ax^2$ xác định với những giá trị nào của $x$? (2) Vì sao hai giá trị $x$ đối nhau cho cùng giá trị $y$? (3) Khi $a>0$ và khi $a<0$, $y$ nhận giá trị dương, âm hay bằng 0? Dùng học liệu số NeoEdu (phần bài giảng, ví dụ) để đối chiếu sau khi nhóm hoàn thành.

Bảng giá trị cần hoàn thành:

• $y=2x^2$: $x=-2\to y=8$; $x=-1\to y=2$; $x=0\to y=0$; $x=1\to y=2$; $x=2\to y=8$.
• $y=-2x^2$: $x=-2\to y=-8$; $x=-1\to y=-2$; $x=0\to y=0$; $x=1\to y=-2$; $x=2\to y=-8$.
  Kết luận HS rút ra:
• Hàm số $y=ax^2$ ($a\ne 0$) xác định với mọi số thực $x$.
• Vì $(-x)^2=x^2$ nên $x$ và $-x$ cho cùng $y$, đồ thị đối xứng qua $Oy$, đỉnh là $O(0;0)$.
• Nếu $a>0$ thì $y\ge 0$ (giá trị nhỏ nhất $y=0$ khi $x=0$); nếu $a<0$ thì $y\le 0$ (giá trị lớn nhất $y=0$ khi $x=0$).

Vẽ được đồ thị $y=x^2$ bằng bảng giá trị, nối các điểm bằng đường cong trơn và nhận biết hình dạng parabol khi $a>0$ và $a<0$.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Cặp lập bảng giá trị của $y=x^2$ với $x\in\{-2;-1;0;1;2\}$, biểu diễn các điểm trên hệ trục $Oxy$ và nối bằng đường cong trơn. Sau đó trả lời: (1) Đồ thị có dạng gì, đỉnh ở đâu, trục đối xứng là đường nào? (2) Điểm $(-2;4)$ và $(2;4)$ có đối xứng nhau qua $Oy$ không? (3) Đồ thị của $y=-x^2$ nằm ở phía nào của trục $Ox$? Lưu ý: không nối các điểm thành đường gấp khúc.

Bảng giá trị $y=x^2$: $x=-2\to y=4$; $x=-1\to y=1$; $x=0\to y=0$; $x=1\to y=1$; $x=2\to y=4$. Các điểm cần biểu diễn: $(-2;4)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;4)$.
Kết luận HS rút ra:

• Đồ thị $y=x^2$ là một parabol có đỉnh $O(0;0)$, trục đối xứng là $Oy$, nằm phía trên trục $Ox$ (vì $y\ge 0$) và mở lên.
• Hai điểm $(-2;4)$ và $(2;4)$ đối xứng nhau qua $Oy$.
• Đồ thị $y=-x^2$ (với $a<0$) là parabol đối xứng với đồ thị $y=x^2$ qua $Ox$, nằm phía dưới trục $Ox$ và mở xuống.

Vận dụng được công thức $y=ax^2$ để tính giá trị, tìm hệ số $a$, nhận biết trục đối xứng và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

HS làm việc theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi nhóm 4 người, mỗi người nhận một bài (1 đến 6) và ghi lời giải vào ô của mình trên khăn; sau đó cả nhóm thống nhất đáp án ở ô trung tâm. Các bài: (1) $y=3x^2$ tại $x=-2$; (2) $y=-2x^2$ tại $x=3$; (3) $y=ax^2$ đi qua điểm $(2;12)$, tìm $a$; (4) Trục đối xứng của $y=2x^2$ là: A. $Ox$; B. $Oy$; C. $y=x$; D. $x=2$; (5) Giá trị nhỏ nhất của $y=5x^2$; (6) Điểm $(-2;8)$ có thuộc đồ thị $y=2x^2$ không?

Đề và đáp án:

• Bài 1: $y=3\cdot(-2)^2=3\cdot 4=12$. Đáp số: $y=12$.
• Bài 2: $y=-2\cdot 3^2=-2\cdot 9=-18$. Đáp số: $y=-18$.
• Bài 3: Thay $(2;12)$ vào $y=ax^2$: $12=a\cdot 2^2=4a$, suy ra $a=3$. Đáp số: $a=3$.
• Bài 4: Đáp án B ($Oy$), vì hai điểm $x$ và $-x$ luôn có cùng tung độ.
• Bài 5: Vì $x^2\ge 0$ nên $5x^2\ge 0$, dấu bằng khi $x=0$. Giá trị nhỏ nhất là $0$.
• Bài 6: Thay $x=-2$: $2\cdot(-2)^2=8$, bằng tung độ của điểm. Đáp số: Đúng, điểm thuộc đồ thị.

Tìm được giao điểm của đồ thị $y=x^2$ với đường thẳng $y=4$ và lập bảng giá trị để vẽ đồ thị $y=x^2$ đúng cách.

HS làm việc theo cặp: (7) Tìm giao điểm của đồ thị $y=x^2$ và đường thẳng $y=4$ (quy về giải phương trình $x^2=4$). (8) Lập bảng giá trị của $y=x^2$ với $x=-2;-1;0;1;2$ và nêu nhận xét về các điểm vừa tìm được với đồ thị đã vẽ ở hoạt động trước.

Đáp án:

• Bài 7: $x^2=4$ suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$. Hai giao điểm là $(-2;4)$ và $(2;4)$.
• Bài 8: Bảng giá trị: $x=-2\to y=4$; $x=-1\to y=1$; $x=0\to y=0$; $x=1\to y=1$; $x=2\to y=4$. Các điểm nằm trên đường cong parabol đối xứng qua $Oy$, đỉnh $(0;0)$.

Sử dụng hàm số $y=ax^2$ để mô hình hoá một tình huống thực tế và giải thích ý nghĩa của kết quả.

Một mảnh vườn hình vuông có cạnh là $x$ (m), diện tích là $y$ (m²). Diện tích được cho bởi hàm số $y=x^2$. Nhiệm vụ: (1) Viết công thức diện tích theo $x$ và nhận ra đây là hàm số dạng $y=ax^2$ với $a=1$. (2) Tính diện tích khi cạnh $x=2{,}5$ m. (3) Nếu cạnh tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp mấy lần? Giải thích vì sao.

Lời giải mẫu:

• Diện tích: $y=x^2$, là hàm số $y=ax^2$ với $a=1>0$.
• Với $x=2{,}5$ m: $y=(2{,}5)^2=6{,}25$ m². Đáp số: $6{,}25$ m².
• Nếu cạnh tăng gấp đôi, tức là $2x$, thì diện tích là $(2x)^2=4x^2$, tăng gấp $4$ lần. Giải thích: vì $y=ax^2$ nên khi $x$ nhân với $2$ thì $y$ nhân với $2^2=4$.