Giáo án Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Huy động kiến thức về khoảng cách và bán kính; nhận biết được có ba khả năng về số điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn; nêu được vấn đề cần giải quyết trong bài.

GV vẽ trên bảng đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$ cm và ba đường thẳng $a$, $b$, $c$ có vị trí khác nhau so với đường tròn. GV hỏi: "Đường thẳng nào cắt đường tròn tại hai điểm, đường thẳng nào chỉ có một điểm chung, đường thẳng nào không có điểm chung nào?" Sau đó GV hỏi tiếp: "Nếu chỉ biết khoảng cách $d$ từ tâm $O$ đến đường thẳng và bán kính $R$, ta có thể xác định vị trí tương đối được không?"

HS nêu được: đường thẳng $a$ cắt đường tròn tại hai điểm; đường thẳng $b$ tiếp xúc đường tròn tại một điểm; đường thẳng $c$ không có điểm chung với đường tròn. Vấn đề cần giải quyết: xác định vị trí tương đối chỉ bằng cách so sánh $d$ với $R$.

Nêu được điều kiện $d<R$, $d=R$, $d>R$ tương ứng với số điểm chung của đường thẳng và đường tròn; phát biểu được ba vị trí tương đối.

HS làm việc nhóm 4 theo Phiếu học tập số 1. Nhóm xét đường tròn $(O;5)$ và ba đường thẳng: $d_1$ cách $O$ một khoảng $3$ cm; $d_2$ cách $O$ một khoảng $5$ cm; $d_3$ cách $O$ một khoảng $6$ cm. Nhóm điền vào bảng gồm các cột: đường thẳng, so sánh $d$ với $R$, số điểm chung, vị trí tương đối. Sau đó nhóm trả lời câu hỏi: "Vì sao trong trường hợp $d<R$ đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm?" và tham khảo sơ đồ minh họa trên trang bài học NeoEdu để kiểm tra.

Kết quả điền bảng: $d_1$: $3<5$, có $2$ điểm chung, đường thẳng cắt đường tròn; $d_2$: $5=5$, có $1$ điểm chung, đường thẳng tiếp xúc đường tròn; $d_3$: $6>5$, không có điểm chung, đường thẳng không giao đường tròn.
Kiến thức HS rút ra: Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng, $R$ là bán kính.

• Nếu $d<R$: đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
• Nếu $d=R$: đường thẳng tiếp xúc đường tròn tại một điểm.
• Nếu $d>R$: đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Giải thích được tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm; chứng minh được $PA=PB$ và $OP$ là phân giác của $\widehat{APB}$; vận dụng được định lí Pythagore để tính độ dài tiếp tuyến.

HS làm việc cặp đôi theo Phiếu học tập số 2. Cho đường tròn $(O;R)$, từ điểm $P$ ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến $PA$, $PB$ với $A$, $B$ là hai tiếp điểm.
Câu 1: Vì sao $OA\perp PA$? Vì sao $\triangle OAP$ là tam giác vuông?
Câu 2: Hãy chứng minh $PA=PB$ bằng cách xét hai tam giác vuông $OAP$ và $OBP$.
Câu 3: Từ đó vì sao $OP$ là tia phân giác của $\widehat{APB}$?
Câu 4: Cho $R=5$ cm và $OP=13$ cm. Tính $PA$.

Câu 1: Tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với bán kính $OA$ tại tiếp điểm, nên $\widehat{OAP}=90^\circ$ và $\triangle OAP$ vuông tại $A$.
Câu 2: Xét $\triangle OAP$ và $\triangle OBP$ có $OA=OB=R$, $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90^\circ$, cạnh $OP$ chung. Do đó $\triangle OAP=\triangle OBP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra $PA=PB$.
Câu 3: Từ $\triangle OAP=\triangle OBP$ suy ra $\widehat{APO}=\widehat{BPO}$, nên $OP$ là phân giác của $\widehat{APB}$.
Câu 4: $PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ cm.
Kiến thức HS rút ra: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm; từ điểm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến bằng nhau và $OP$ là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Xác định nhanh số giao điểm và độ dài tiếp tuyến; vận dụng tính chất tiếp tuyến để chứng minh và tính góc; trình bày lời giải có điều kiện và kiểm tra kết quả.

Phần A (bảng con, cá nhân): Bài 1 đến bài 6.

1. $R=5$, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $3$. Có bao nhiêu giao điểm?
2. $R=5$, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $5$. Có bao nhiêu giao điểm?
3. $R=5$, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $6$. Có bao nhiêu giao điểm?
4. $OP=10$, $R=6$. Tính độ dài tiếp tuyến $PA$.
5. Nếu $PA$, $PB$ là hai tiếp tuyến từ $P$ thì khẳng định nào đúng: A. $PA=PB$; B. $PA=R$ luôn; C. $OP=PA$; D. $AB$ là đường kính luôn?
6. Tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $OA$. Đúng hay sai?
   Phần B (cặp đôi): Bài 7 và bài 8.
7. $PA=12$, $OA=5$, $PA$ là tiếp tuyến. Tính $OP$.
8. Từ $P$ ngoài đường tròn tâm $O$, $PA$, $PB$ là hai tiếp tuyến tại $A$, $B$ và $\widehat{APB}=60^\circ$. Tính $\widehat{AOB}$.

Đáp án phần A: 1) 2 giao điểm (cắt nhau vì $3<5$); 2) 1 giao điểm (tiếp xúc vì $d=R$); 3) 0 giao điểm ($d>R$); 4) $PA=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$; 5) Đáp án A; 6) Đúng.
Đáp án phần B:
Bài 7: $\triangle OAP$ vuông tại $A$, $OP=\sqrt{PA^2+OA^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$.
Bài 8: Tứ giác $OAPB$ có $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90^\circ$, $\widehat{APB}=60^\circ$ nên $\widehat{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$. Đây cũng là góc $\widehat{AOB}$ nhỏ hơn $180^\circ$.
Thang điểm bài tự luận tham khảo: lập luận đúng 0,5 điểm; phép tính và dẫn chứng chính xác 0,3 điểm; diễn đạt và kết luận 0,2 điểm.

Mô hình hoá được tình huống thực tế bằng đường thẳng và đường tròn; xác định vị trí tương đối và giải thích kết luận bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

Một bồn hoa hình tròn tâm $O$ có bán kính $R=5$ m, xung quanh là một con đường thẳng dành cho xe đạp. Khoảng cách từ tâm bồn hoa đến mép đường là $d=7$ m. Hỏi con đường có chạm vào bồn hoa không? Nếu người ta muốn con đường tiếp xúc với bồn hoa thì phải dời con đường đến khoảng cách bao nhiêu? Yêu cầu nhóm 4 mô tả mô hình bằng hình vẽ đơn giản và viết lời giải có điều kiện.

Mô hình: đường thẳng là mép đường, đường tròn là bồn hoa, $d=7$ m, $R=5$ m.
Lời giải: Vì $d=7>R=5$ nên con đường và bồn hoa không có điểm chung, con đường không chạm vào bồn hoa.
Nếu muốn tiếp xúc thì cần $d=R=5$ m, tức là phải dời con đường lại gần tâm bồn hoa đúng 2 m.
Kết luận: Vị trí tương đối được xác định bằng cách so sánh khoảng cách $d$ với bán kính $R$.