Giáo án Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Huy động kiến thức về chu vi và diện tích đường tròn; xác định vấn đề cần giải quyết là tính độ dài cung và diện tích của một phần đường tròn.

GV đưa hình chiếc bánh pizza hình tròn bán kính $R=15\,\text{cm}$ được cắt thành các miếng bằng nhau. Câu hỏi: (1) Nhắc lại công thức chu vi và diện tích hình tròn. (2) Nếu chỉ lấy một miếng có góc ở tâm $90°$, làm thế nào để tính được chiều dài đường viền vỏ bánh và diện tích miếng bánh đó? (3) Công thức đó có giống công thức chu vi, diện tích cả đường tròn không?

HS nhớ lại $C=2\pi R$, $S=\pi R^2$. HS nhận ra cần công thức riêng cho phần đường tròn ứng với góc ở tâm n°. Dự kiến HS trả lời: miếng bánh có góc $90°$ chiếm $\dfrac{90}{360}=\dfrac{1}{4}$ đường tròn nên công thức phải có thêm hệ số $\dfrac{n}{360}$. Kết luận nhiệm vụ: tìm công thức độ dài cung và diện tích hình quạt.

Hình thành công thức độ dài cung n° của đường tròn bán kính R; vận dụng được công thức và phân biệt cung với chu vi đường tròn.

Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1: (a) Cả đường tròn ứng với cung $360°$ có độ dài $2\pi R$. Cung $1°$ có độ dài bằng bao nhiêu? (b) Suy ra cung n° có độ dài $l$ bằng bao nhiêu? (c) Áp dụng với $R=6\,\text{cm}$, $n=60$: tính $l$. (d) Vì sao không dùng công thức $2\pi R$ cho cung?

Kiến thức HS rút ra: cung $1°$ có độ dài $\dfrac{2\pi R}{360}$, do đó cung n° có độ dài $l=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot n=\dfrac{\pi Rn}{180}$. Ví dụ: $l=\dfrac{\pi\cdot 6\cdot 60}{180}=2\pi\,\text{cm}$. Ghi chú: $2\pi R$ là chu vi cả đường tròn, chỉ dùng khi $n=360$; độ dài cung dùng đơn vị dài (cm, m).

Hình thành công thức diện tích hình quạt tròn và diện tích hình vành khuyên; giải thích được vì sao diện tích vành khuyên là hiệu hai hình tròn.

Kỹ thuật khăn trải bàn: mỗi nhóm có tờ giấy A4 chia làm hai phần. Phần 1: (a) Diện tích quạt n° tỉ lệ với diện tích hình tròn theo hệ số nào? Suy ra $S$ theo $R$, $n$. (b) Chứng minh $S=\dfrac{lR}{2}$ từ công thức độ dài cung. (c) Với $R=6\,\text{cm}$, $n=60$: tính $S$. Phần 2 (Phiếu học tập số 2): vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm $R>r$; tính diện tích phần nằm giữa hai đường tròn; so sánh với $\pi(R-r)^2$ bằng ví dụ $R=5$, $r=3$.

Kiến thức HS rút ra: $S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{lR}{2}$; ví dụ $S=\dfrac{\pi\cdot 36\cdot 60}{360}=6\pi\,\text{cm}^2$. Vành khuyên có diện tích $\pi(R^2-r^2)$; ví dụ $R=5$, $r=3$: $\pi(25-9)=16\pi\,\text{cm}^2$, trong khi $\pi(R-r)^2=4\pi$ là sai. Diện tích dùng đơn vị vuông (cm², m²).

Củng cố nhanh công thức độ dài cung, diện tích quạt và vành khuyên; nhận biết được lỗi sai thường gặp.

Đề bài tập 1 đến 6 (trình chiếu hoặc ghi bảng): (1) Cung $90°$, $R=4$. Hệ số của π trong độ dài cung là bao nhiêu? (2) Quạt $90°$, $R=4$. Hệ số của π trong diện tích là bao nhiêu? (3) Vành khuyên $R=5$, $r=3$. Hệ số của π trong diện tích là bao nhiêu? (4) $R=6$, cung $120°$. Hệ số của π trong độ dài cung là bao nhiêu? (5) Diện tích quạt n° là: A. $\dfrac{\pi Rn}{180}$; B. $\dfrac{\pi R^2n}{360}$; C. $2\pi R$; D. $\pi(R-n)^2$. (6) Vành khuyên $R=5$, $r=3$ có diện tích $4\pi$. Đúng hay sai?

Đáp án: (1) 2 (vì $4\cdot 90/180=2$); (2) 4 (vì $16\cdot 90/360=4$); (3) 16 (vì $25-9=16$); (4) 4 (vì $6\cdot 120/180=4$); (5) Đáp án B; (6) Sai, vì diện tích là $\pi(25-9)=16\pi$.

Vận dụng công thức để tìm góc ở tâm và tính quãng đường; trình bày lời giải có điều kiện và kiểm tra kết quả.

Nhóm làm bài tập 7 và 8: (7) Một quạt tròn bán kính $R=9$ có cung dài $6\pi$. Tìm góc ở tâm và diện tích quạt. (8) Bánh xe bán kính $R=0{,}3\,\text{m}$ lăn không trượt, quay 20 vòng. Xe đi được bao xa (làm tròn đến $0{,}01\,\text{m}$)?

Đáp án bài 7: $n=\dfrac{180l}{\pi R}=\dfrac{180\cdot 6\pi}{9\pi}=120°$; $S=\dfrac{lR}{2}=\dfrac{6\pi\cdot 9}{2}=27\pi\,\text{cm}^2$. Đáp án bài 8: mỗi vòng bằng chu vi bánh xe $2\pi R=0{,}6\pi\,\text{m}$; 20 vòng: $12\pi\approx 37{,}70\,\text{m}$.

Vận dụng công thức diện tích vành khuyên và quạt tròn vào tình huống thực tế; mô hình hoá bài toán và trình bày kết quả có đơn vị.

Một sân trường thiết kế bồn hoa hình vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm, đường kính ngoài $6\,\text{m}$, đường kính trong $4\,\text{m}$. (a) Tính diện tích phần trồng cỏ (làm tròn đến $0{,}01\,\text{m}^2$). (b) Trong bồn có một lối đi hình quạt $60°$ bán kính $3\,\text{m}$ không trồng cỏ. Tính diện tích phần lối đi và diện tích phần còn lại.

Đáp án: (a) $R=3$, $r=2$: $S=\pi(9-4)=5\pi\approx 15{,}71\,\text{m}^2$. (b) Lối đi: $S=\dfrac{\pi\cdot 9\cdot 60}{360}=\dfrac{3\pi}{2}\approx 4{,}71\,\text{m}^2$; phần còn lại: $5\pi-\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{2}\approx 10{,}99\,\text{m}^2$ (lối đi nằm trong vành khuyên nên trừ trực tiếp).