Giáo án Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

Gợi nhớ khái niệm đường tròn và xác định vấn đề: hai điểm trên đường tròn tạo ra những gì.

GV chiếu hình một bánh xe đạp và vẽ đường tròn tâm O trên bảng. Lấy hai điểm A, B trên vành bánh xe. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Hai điểm A, B chia đường tròn thành mấy phần? (2) Đoạn thẳng AB có gọi là dây không? (3) Nếu AB đi qua tâm O thì đoạn AB gọi là gì?

Nhiệm vụ học tập được xác định: hai điểm A, B trên đường tròn chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung; đoạn AB nối hai đầu cung gọi là dây; nếu AB đi qua O thì AB là đường kính. Câu hỏi cần giải quyết: quan hệ giữa cung, dây và khoảng cách đến tâm là như thế nào.

Nêu được định nghĩa cung nhỏ, cung lớn, dây và tính được số đo cung lớn từ số đo cung nhỏ.

HS làm việc cặp đôi theo Phiếu học tập số 1: vẽ đường tròn (O; 4 cm), lấy hai điểm A, B sao cho góc AOB bằng $80^\circ$ (đo bằng thước đo góc). Ghi tên cung nhỏ AB và cung lớn AB. Tính số đo cung lớn AB. Vẽ dây AB và nêu nhận xét về vị trí của dây AB so với tâm O.

Cung nhỏ AB có số đo bằng góc ở tâm AOB, tức là $80^\circ$. Cung lớn AB có số đo $360^\circ-80^\circ=280^\circ$. Dây AB nối hai đầu cung. Nếu dây AB đi qua tâm O thì AB là đường kính, có độ dài $2R$. Kiến thức HS rút ra: hai điểm A, B chia đường tròn thành một cung nhỏ và một cung lớn (hoặc hai nửa đường tròn nếu AB là đường kính).

Giải thích được: trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung nhỏ bằng nhau tương ứng hai dây bằng nhau.

Nhóm 4 HS thực hiện thí nghiệm: vẽ đường tròn (O; 4 cm) và đường tròn (O'; 4 cm) bằng nhau. Trên (O) lấy dây AB sao cho góc AOB bằng $80^\circ$; trên (O') lấy dây CD sao cho góc CO'D bằng $80^\circ$. Đo độ dài AB và CD. Dùng giấy trong đặt chồng hai cung nhỏ AB và CD để kiểm tra. Trả lời: (1) AB có bằng CD không? (2) Khi hai cung nhỏ bằng nhau thì hai dây thế nào? (3) Thử với góc ở tâm $60^\circ$ và $100^\circ$ rồi nêu nhận xét.

Kết quả thí nghiệm: AB = CD $\approx 5{,}1$ cm (tính $2\cdot 4\cdot\sin 40^\circ$), hai cung nhỏ chồng khít lên nhau. Kết luận: trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, hai cung nhỏ bằng nhau tương ứng hai dây bằng nhau. Với góc $60^\circ$ và $100^\circ$, cung càng lớn thì dây càng dài, nhưng chỉ so sánh khi cung và dây thuộc cùng đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau. Quan niệm sai cần tránh: so sánh cung và dây của hai đường tròn có bán kính khác nhau.

Giải thích được quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây; vận dụng đường kính vuông góc dây để tính độ dài dây.

Các nhóm làm Phiếu học tập số 2: (1) Vẽ đường tròn (O; 5 cm), vẽ hai dây AB và CD sao cho khoảng cách từ O đến AB là 3 cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm. So sánh AB và CD. (2) Vẽ đường kính MN và dây PQ vuông góc với MN tại H. Nhận xét về H so với PQ. (3) Với R = 5 cm và khoảng cách từ tâm đến dây là 3 cm, tính độ dài dây bằng định lí Pythagore. (4) Dây nào trong đường tròn là dài nhất?

(1) Dây cách tâm 3 cm dài hơn dây cách tâm 4 cm, tức là dây càng gần tâm càng dài. (2) Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm H của dây PQ. (3) Nửa dây bằng $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ cm, nên dây dài $2\cdot 4=8$ cm. (4) Đường kính là dây dài nhất, độ dài $2R$. Kết luận: đường kính đi qua trung điểm một dây không phải đường kính thì vuông góc với dây đó; đường kính vuông góc dây thì chia đôi dây.

Vận dụng quan hệ cung–dây và dây–khoảng cách để giải bài tập tính toán và trắc nghiệm; lập luận được đúng hay sai.

HS làm cá nhân rồi kiểm tra chéo theo cặp với các bài sau: (1) Đường tròn R = 13 cm, khoảng cách từ tâm đến dây là 5 cm. Tính độ dài dây. (2) Đường tròn R = 5 cm, dây dài 8 cm. Tính khoảng cách từ tâm đến dây. (3) Dây dài nhất trong đường tròn R = 6 cm là: A. 6; B. 12; C. 18; D. 36. (4) Trong một đường tròn, xét tính đúng, sai: a) Hai dây bằng nhau chắn hai cung nhỏ bằng nhau; b) Dây gần tâm hơn thì ngắn hơn; c) Đường kính vuông góc dây chia đôi dây. (5) Góc ở tâm chắn cung nhỏ AB là $80^\circ$. Tính số đo cung lớn AB. (6) Trong cùng một đường tròn, hai dây cách tâm lần lượt 3 cm và 4 cm. Dây nào dài hơn? A. Dây cách 3 cm; B. Dây cách 4 cm; C. Bằng nhau; D. Không so sánh được.

Đáp án: (1) $2\cdot\sqrt{13^2-5^2}=2\cdot 12=24$ cm. (2) $\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm. (3) Đáp án B, vì dây dài nhất là đường kính $2R=12$ cm. (4) a) Đúng; b) Sai, dây gần tâm hơn thì dài hơn; c) Đúng. (5) $360^\circ-80^\circ=280^\circ$. (6) Đáp án A, vì dây gần tâm hơn thì dài hơn. Bài trình bày mẫu cho câu (1): nửa dây $=\sqrt{13^2-5^2}=12$ cm; độ dài dây $=24$ cm.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng hình học đường tròn và giải quyết bài toán tìm khoảng cách từ tâm đến dây; trình bày lời giải có điều kiện, phép tính và kiểm tra kết quả.

Tình huống: một chiếc đĩa tròn tâm O có bán kính 10 cm. Người ta đặt một thanh thẳng AB dài 12 cm sao cho hai đầu A, B nằm trên mép đĩa. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB. Tính khoảng cách OH. Kiểm tra kết quả bằng cách thay số vào hệ thức đã dùng.

Lời giải mẫu: Vì OH vuông góc với AB nên H là trung điểm AB, suy ra AH = 6 cm. Trong tam giác vuông OHA: $OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm. Kiểm tra: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, đúng. Thang đánh giá: lập luận đúng 0,5 điểm; phép tính và dẫn chứng chính xác 0,3 điểm; diễn đạt và kết luận 0,2 điểm.