Giáo án Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

HS nhớ lại định nghĩa sin, cos, tan của góc nhọn trong tam giác vuông và nhận ra nhu cầu tính cạnh khi chỉ biết một cạnh và một góc.

GV chiếu hình tam giác vuông ABC (vuông tại A) và yêu cầu HS nêu định nghĩa sin, cos, tan của góc B. Sau đó GV đưa tình huống: một thang dài 10 m dựa vào tường, tạo với nền góc 30°; hỏi đầu thang cao bao nhiêu mét so với nền. HS dự đoán kết quả và nêu lí do lựa chọn tỉ số lượng giác.

HS nêu đúng: sin góc = cạnh đối / cạnh huyền; cos góc = cạnh kề / cạnh huyền; tan góc = cạnh đối / cạnh kề. HS nhận ra cần một hệ thức nối cạnh huyền 10 m, góc 30° với độ cao cần tìm. Dự kiến kết quả: đầu thang cao 5 m (ghi nhận để kiểm tra ở cuối tiết).

HS giải thích được cách thiết lập các hệ thức cạnh đối = huyền × sin, cạnh kề = huyền × cos, cạnh đối = cạnh kề × tan từ định nghĩa tỉ số lượng giác.

HS hoạt động theo nhóm 4 (kĩ thuật khăn trải bàn). Mỗi nhóm nhận Phiếu học tập số 1, gồm hình tam giác vuông ABC (vuông tại A), các câu hỏi và bảng cần điền. Nhiệm vụ: (1) viết định nghĩa sin B, cos B, tan B bằng cạnh; (2) suy ra cạnh đối của góc B bằng cạnh huyền nhân sin B; (3) suy ra cạnh kề bằng cạnh huyền nhân cos B; (4) suy ra cạnh đối bằng cạnh kề nhân tan B; (5) nêu quy tắc chọn hệ thức khi biết hai đại lượng và cần tìm một đại lượng. Trên trang NeoEdu, GV cho HS xem phần Hiểu bản chất để đối chiếu.

Các hệ thức HS rút ra: cạnh đối = cạnh huyền · sin góc; cạnh kề = cạnh huyền · cos góc; cạnh đối = cạnh kề · tan góc. Quy tắc chọn: chọn hệ thức chứa đúng hai đại lượng đã biết (một cạnh và một góc hoặc hai cạnh) và đại lượng cần tìm, không dùng hệ thức chứa đại lượng chưa biết. Ví dụ điền bảng: sin B = AC/BC, cos B = AB/BC, tan B = AC/AB.

HS trình bày được quy trình giải bài toán thực tế gồm vẽ sơ đồ, phân biệt khoảng cách ngang với đường ngắm, cộng chiều cao máy đo, giữ chữ số trung gian và làm tròn cuối cùng.

GV dẫn dắt: Ví dụ thang dài 10 m, chân thang trên nền ngang, tạo góc 30° với nền. Tính độ cao đầu thang. HS vẽ sơ đồ, xác định cạnh huyền 10 m, góc 30°, cạnh đối là độ cao cần tìm và chọn hệ thức h = 10 · sin 30° = 5 m. Sau đó GV đưa tình huống đo cây: máy đo đặt cao 1,5 m so với nền, cách gốc cây 8 m, góc cao đến ngọn là 45°. HS nêu cách làm: chiều cao cây = 8 · tan 45° + 1,5. GV yêu cầu HS nêu lại các bước của quy trình và đối chiếu trên trang NeoEdu phần Quy trình giải và kiểm tra.

Quy trình HS nêu: (1) Vẽ sơ đồ thực tế, đánh dấu khoảng cách ngang, đường ngắm, chiều cao máy; (2) xác định đại lượng đã biết và cần tìm; (3) chọn hệ thức có đúng hai đại lượng đã biết; (4) tính với chữ số trung gian đầy đủ, làm tròn ở kết quả cuối. Ví dụ đã giải: thang 10 m, góc 30°, độ cao = 10 · sin 30° = 5 m. Cây cao: 8 · tan 45° + 1,5 = 8 · 1 + 1,5 = 9,5 m. Kiểm tra: 9,5 m hợp lí khi góc 45° và khoảng cách 8 m.

HS vận dụng được hệ thức đúng để tính cạnh trong các tình huống thang, cột, dốc và đường ngắm; nhận biết được hệ thức đúng khi biết cạnh kề và góc.

HS làm bài tập 1 đến 6 của bài học theo nhóm đôi, ghi lời giải ngắn gọn có điều kiện và phép tính. Bài 1: thang dài 10 m, góc 30° với nền, tính độ cao. Bài 2: cột thẳng đứng, bóng dài 6 m, góc cao mặt trời 45°, tính chiều cao cột. Bài 3: đoạn dốc dài 20 m nghiêng 30° so với phương ngang, tính độ tăng cao. Bài 4: chọn hệ thức đúng để tính cạnh đối khi biết cạnh kề b và góc α (A. b sin α; B. b cos α; C. b tan α; D. b cot α). Bài 5: máy đo cao 1,5 m, cách gốc cây 8 m, góc cao đến ngọn 45°, tính chiều cao cây. Bài 6: đường ngắm dài 10 m tạo góc 60° với phương ngang, khẳng định khoảng cách ngang bằng 10 cos 60° mét đúng hay sai và giải thích.

Đáp án: Bài 1: 10 · sin 30° = 5 m. Bài 2: h = 6 · tan 45° = 6 m. Bài 3: 20 · sin 30° = 10 m. Bài 4: đáp án C, vì tan α = cạnh đối / cạnh kề nên cạnh đối = b · tan α. Bài 5: 8 · tan 45° + 1,5 = 9,5 m. Bài 6: Đúng, vì khoảng cách ngang là cạnh kề của góc 60° và cạnh huyền là 10 m, nên cạnh kề = 10 · cos 60° mét (= 5 m).

HS giải được bài toán có hai bước tính, biết kiểm tra kết quả bằng cách so sánh với góc đã cho và trình bày lời giải có điều kiện, phép tính, kết luận.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, gồm bài tập 7 và bài tập 8 của bài học. Bài 7: dây neo căng thẳng dài 12 m nối điểm trên trụ thẳng đứng với điểm trên nền ngang qua chân trụ, nghiêng 60° với nền; tính độ cao điểm neo và khoảng cách từ điểm neo trên đất đến chân trụ. Bài 8: tháp thẳng đứng trên nền ngang; A cách chân tháp 20 m, góc cao đến đỉnh 45°; B nằm trên tia từ chân tháp qua A, AB = 20 m; tính góc cao từ B đến đỉnh, làm tròn đến 0,01°, bỏ qua độ cao mắt.

Bài 7: h = 12 · sin 60° = 6√3 ≈ 10,39 m; d = 12 · cos 60° = 6 m. Bài 8: chiều cao tháp h = 20 · tan 45° = 20 m; tại B khoảng cách đến chân tháp là 40 m; tan β = 20 / 40 = 0,5 nên β ≈ 26,57°, nhỏ hơn 45°. Thang chấm tham khảo: lập luận đúng 0,5 điểm; phép tính chính xác 0,3 điểm; diễn đạt và kết luận 0,2 điểm.

HS vận dụng các hệ thức giữa cạnh và góc vào đo đạc thực tế, thu thập số liệu, mô hình hoá và kiểm tra kết quả.

GV giao nhiệm vụ cho nhóm 4: Chọn một cây hoặc cột cờ trong sân trường. Dùng thước đo góc (hoặc ứng dụng đo góc trên điện thoại nếu có), thước cuộn và chiều cao tầm mắt (hoặc chiều cao máy đo) để đo góc nâng đến đỉnh và khoảng cách ngang đến gốc. Tính chiều cao vật, so sánh với số đo thực tế (nếu có) hoặc với ước lượng, trình bày sơ đồ và lời giải. Nhiệm vụ về nhà: viết lại báo cáo đo đạc ngắn gọn có sơ đồ.

Sản phẩm: báo cáo nhóm gồm sơ đồ thực tế có ghi khoảng cách ngang, góc nâng, chiều cao máy đo; phép tính h = d · tan α + chiều cao máy; kết quả làm tròn đến 0,1 m; nhận xét sai số và giải thích. Tiêu chí: chọn đúng hệ thức, tính đúng, kiểm tra kết quả bằng cách so sánh với số liệu khác.