Giáo án Bài 3. Thực hành tính toán trên phân thức đại số và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Huy động kiến thức về điều kiện xác định của phân thức và gợi nhu cầu tìm hiểu vì sao biểu thức rút gọn có thể 'mất' một giá trị.

GV đưa câu hỏi: Với phân thức $\dfrac{x^2-4}{x-2}$, có giá trị nào của $x$ mà phân thức không xác định không? Vì sao? Sau khi HS trả lời, GV hỏi tiếp: Nếu phân tích tử thành $(x-2)(x+2)$ và rút gọn, ta được $x+2$; biểu thức mới có xác định tại $x=2$ không? HS làm việc cá nhân trong 2 phút, sau đó chia sẻ với bạn cùng bàn.

HS trả lời: Phân thức không xác định khi mẫu bằng 0, tức $x-2=0$, suy ra $x=2$ bị loại. Dự kiến: biểu thức $x+2$ xác định với mọi $x$, nên có sự khác biệt về miền xác định giữa hai biểu thức. HS ghi vào vở câu hỏi cần giải quyết: Làm thế nào để rút gọn và kiểm chứng kết quả trên GeoGebra mà vẫn giữ điều kiện $x\neq 2$?

Hình thành kĩ năng rút gọn phân thức có điều kiện, dùng lệnh Simplify trong GeoGebra CAS và kiểm chứng kết quả bằng tính tay tại $x=3$.

Nhiệm vụ 1: Ghi điều kiện xác định của $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ trước khi nhập máy. Nhiệm vụ 2: Phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$ và rút gọn bằng tay. Nhiệm vụ 3: Nhập Simplify((x^2-4)/(x-2)) trong GeoGebra CAS, so sánh kết quả với tính tay. Nhiệm vụ 4: Tính giá trị phân thức tại $x=3$ bằng tay và bằng máy, ghi kết quả vào Phiếu học tập số 1.

Kết quả: Điều kiện $x\neq 2$. Rút gọn: $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ với $x\neq 2$. Phần mềm có thể hiển thị $x+2$; HS ghi rõ điều kiện $x\neq 2$. Kiểm chứng tại $x=3$: tính tay $\dfrac{9-4}{3-2}=5$; $3+2=5$; CAS cho cùng kết quả 5. Kết luận: điểm $x=2$ vẫn là điểm khuyết, không trở thành điểm xác định của phân thức.

Vẽ được đồ thị hai hàm số bậc nhất trên GeoGebra, xác định giao điểm bằng công cụ hoặc giải phương trình và kiểm tra tọa độ bằng thay số.

Nhiệm vụ 1: Nhập $y=2x+1$ và $y=-x+7$ vào ô nhập lệnh. Nhiệm vụ 2: Xác định giao Oy của hai đường thẳng bằng cách thay $x=0$. Nhiệm vụ 3: Giải phương trình $2x+1=-x+7$ để tìm hoành độ giao điểm, sau đó tìm tung độ. Nhiệm vụ 4: Dùng công cụ Giao điểm trên GeoGebra và so sánh với kết quả tính tay. Nhiệm vụ 5: Chỉnh thang hai trục và kiểm tra tọa độ bằng thay số vào cả hai công thức. Ghi kết quả vào Phiếu học tập số 2.

Giao Oy: $y=2x+1$ cho $(0;1)$; $y=-x+7$ cho $(0;7)$. Giải phương trình: $2x+1=-x+7$, suy ra $3x=6$, $x=2$; thay vào $y=2\cdot 2+1=5$. Giao điểm $(2;5)$. Kiểm chứng: $2\cdot 2+1=5$ và $-2+7=5$, điểm thỏa mãn cả hai công thức nên đúng là giao điểm. Công cụ Giao điểm trên đồ thị cho đúng $(2;5)$.

Củng cố kĩ năng rút gọn có điều kiện, tính giá trị, đọc giao Oy và giao điểm, đồng thời rèn lập luận giải thích vì sao hai biểu thức không cùng miền xác định.

HS làm việc theo nhóm đôi, hoàn thành các câu hỏi trong Phiếu học tập số 1 và số 2 (câu 1–7). Với câu 8–9, mỗi nhóm viết lập luận ngắn. Có thể dùng học liệu số NeoEdu để chiếu các bài tập tương tác khi nhóm cần đối chiếu. Đề và đáp án: (1) Dùng GeoGebra CAS rút gọn $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ cho câu 1–2 và 7; đồ thị câu 3–6 và 8 là $y=2x+1$ và $y=-x+7$. (2) Rút gọn $\dfrac{x^2-4}{x-2}$, giá trị $x$ bị loại? (3) Giá trị phân thức tại $x=3$? (4) $y=2x+1$ tại $x=0$? (5) $y=-x+7$ tại $x=0$? (6) Hoành độ giao điểm của $y=2x+1$ và $y=-x+7$? (7) Tung độ giao điểm? (8) Vì sao $x+2$ và $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ không cùng miền xác định? (9) Nêu cách kiểm chứng giao điểm phần mềm báo $(2;5)$.

Đáp án: (2) $x=2$ bị loại vì mẫu bằng 0. (3) $\dfrac{9-4}{3-2}=5$. (4) $y=1$, giao Oy là $(0;1)$. (5) $y=7$, giao Oy là $(0;7)$. (6) $x=2$ vì $3x=6$. (7) $y=5$ vì $2\cdot 2+1=5$. (8) Đa thức $x+2$ xác định với mọi $x$; phân thức không xác định tại $x=2$ dù dạng rút gọn cho giá trị 4 tại đó. Lưu ý: giá trị ở đó là $2+2=4$, HS cần đọc đúng để không nhầm. (9) Thay $x=2$ vào cả hai công thức được $y=5$; điểm thỏa đồng thời cả hai phương trình nên là giao điểm.

Vận dụng mô hình hai hàm số bậc nhất và giao điểm để trả lời câu hỏi thực tế, đồng thời trình bày kết quả bằng GeoGebra và lời giải.

Tình huống: Bể A đang có 1 m³ nước và được bơm thêm 2 m³ mỗi giờ; mô hình lượng nước sau $x$ giờ là $y=2x+1$. Bể B đang có 7 m³ nước và xả đi 1 m³ mỗi giờ; mô hình là $y=-x+7$. Nhiệm vụ: (a) Vẽ hai đồ thị trên GeoGebra. (b) Tìm thời điểm hai bể có cùng lượng nước và lượng nước lúc đó. (c) Kiểm chứng bằng thay số. Có thể giao thêm cho HS làm ở nhà với các số liệu khác.

Đáp án: Hai đồ thị cắt nhau tại $(2;5)$. Sau 2 giờ, mỗi bể có 5 m³ nước. Kiểm chứng: bể A: $2\cdot 2+1=5$; bể B: $-2+7=5$. Kết luận: Sau 2 giờ, hai bể có cùng lượng nước là 5 m³.