Giáo án Bài 1. Một vài ứng dụng của hàm số bậc nhất trong tài chính

HS nhận biết tình huống thực tế về thu – chi, xác định được nhiệm vụ học tập: lập mô hình, tìm điểm hòa vốn và ra quyết định về số sản phẩm cần bán.

GV trình bày tình huống: Một quầy bán đồ thủ công có chi phí cố định $200$ nghìn đồng, chi phí vật liệu $10$ nghìn đồng cho mỗi sản phẩm, giá bán $15$ nghìn đồng cho mỗi sản phẩm. Giả sử quầy bán được $20$ sản phẩm.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Tính tổng chi phí và tổng doanh thu khi bán $20$ sản phẩm.
• Quầy lãi hay lỗ? Lãi hoặc lỗ bao nhiêu?
• Cần bán bao nhiêu sản phẩm để quầy không lãi, không lỗ? Có cách nào tìm nhanh mà không cần thử từng số không?

• Khi $x=20$: $C=10\cdot 20+200=400$ (nghìn đồng); $R=15\cdot 20=300$ (nghìn đồng).
• Lợi nhuận $L=300-400=-100$ (nghìn đồng), tức quầy lỗ $100$ nghìn đồng.
• Nhiệm vụ của bài: lập hàm chi phí, doanh thu, lợi nhuận theo $x$; tìm điểm hòa vốn; xác định số sản phẩm để đạt mục tiêu lợi nhuận.

HS lập được hàm $C$, $R$, $L$ theo $x$, giải thích ý nghĩa các hệ số, lập và đọc bảng số liệu, nhận biết dạng hàm số bậc nhất của chi phí, doanh thu và lợi nhuận.

HS làm việc nhóm $4$ theo Phiếu học tập số 1. Mỗi nhóm:

• Viết hàm chi phí $C$ theo $x$ (chi phí cố định $200$, chi phí vật liệu $10$ nghìn đồng mỗi sản phẩm).
• Viết hàm doanh thu $R$ theo $x$ (giá bán $15$ nghìn đồng mỗi sản phẩm).
• Viết hàm lợi nhuận $L=R-C$ và rút gọn.
• Điền bảng giá trị $C$, $R$, $L$ với $x=0,\ 20,\ 40,\ 60$.
• Nhận xét về dấu của $L$ khi $x$ tăng.
  HS dùng học liệu số NeoEdu (phần bài giảng và ví dụ) để kiểm tra lại công thức khi cần.

• Hàm chi phí: $C=10x+200$; hàm doanh thu: $R=15x$; hàm lợi nhuận: $L=R-C=15x-(10x+200)=5x-200$.
• Bảng giá trị (đơn vị nghìn đồng):
• $x=0$: $C=200$, $R=0$, $L=-200$.
• $x=20$: $C=400$, $R=300$, $L=-100$.
• $x=40$: $C=600$, $R=600$, $L=0$.
• $x=60$: $C=800$, $R=900$, $L=100$.
• Kết luận HS rút ra: $C$, $R$, $L$ đều là hàm bậc nhất theo $x$; hệ số $10$ là chi phí vật liệu cho mỗi sản phẩm, $200$ là chi phí cố định; $L$ tăng khi $x$ tăng vì hệ số của $x$ trong $L$ là $5>0$.

HS giải được phương trình $R=C$ để tìm điểm hòa vốn, biểu diễn hai đường $C$ và $R$ trên cùng hệ trục để nhận ra điểm giao, giải bất phương trình $L\ge 150$ và nêu được các giả định của mô hình.

HS làm việc theo nhóm $4$ với Phiếu học tập số 2 (phần điểm hòa vốn và phần giả định). Các nhóm:

• Giải phương trình $15x=10x+200$ để tìm số sản phẩm hòa vốn.
• Vẽ trên cùng một hệ trục hai đường $C=10x+200$ và $R=15x$ (lấy $x$ từ $0$ đến $80$), chỉ ra điểm giao và ý nghĩa của điểm đó.
• Giải bất phương trình $5x-200\ge 150$ để tìm số sản phẩm tối thiểu cần bán để lãi ít nhất $150$ nghìn đồng.
• Liệt kê các giả định của mô hình và nêu vì sao cần giữ các giả định này khi dự báo lợi nhuận.

• Hòa vốn: $15x=10x+200 \Rightarrow 5x=200 \Rightarrow x=40$. Khi $x=40$ thì $R=C=600$ (nghìn đồng).
• Trên đồ thị, hai đường $C$ và $R$ cắt nhau tại điểm $(40;\ 600)$; với $x<40$ thì $L<0$ (lỗ), với $x>40$ thì $L>0$ (lãi).
• Lãi ít nhất $150$ nghìn đồng: $5x-200\ge 150 \Rightarrow 5x\ge 350 \Rightarrow x\ge 70$. Cần bán tối thiểu $70$ sản phẩm.
• Giả định của mô hình: bán hết số sản phẩm đã làm; giá bán và chi phí vật liệu không đổi; chưa tính thuế, phí, sản phẩm tồn kho và biến động giá.

HS vận dụng mô hình để tính chi phí, doanh thu, lợi nhuận và số sản phẩm hòa vốn theo từng câu hỏi; giải thích được ý nghĩa hệ số $10$ và số $200$ và đề xuất dữ liệu kiểm tra trước khi đầu tư.

HS làm việc theo cặp đôi, dùng bảng đã lập ở Phiếu học tập số 1 để đối chiếu với các câu hỏi sau (mô hình $C=10x+200$, $R=15x$, đơn vị nghìn đồng, $x$ nguyên không âm, bán hết, giá và chi phí không đổi):

• Câu 1: Lập bảng $x=0,\ 20,\ 40,\ 60$ và đối chiếu.
• Câu 2: Chi phí khi $x=20$?
• Câu 3: Doanh thu khi $x=20$?
• Câu 4: Lợi nhuận khi $x=20$?
• Câu 5: Số sản phẩm hòa vốn?
• Câu 6: Lợi nhuận khi $x=60$?
• Câu 7: Muốn lãi ít nhất $150$ nghìn đồng, cần tối thiểu bao nhiêu sản phẩm?
• Câu 8: Giải thích ý nghĩa hệ số $10$ và số $200$ trong $C$.
• Câu 9: Đề xuất dữ liệu cần kiểm tra trước khi đầu tư bán $80$ sản phẩm.

Đáp án đối chiếu (đơn vị nghìn đồng):

• Câu 1: Bảng đúng như Hoạt động 2: $x=0$: $C=200$, $R=0$; $x=20$: $C=400$, $R=300$; $x=40$: $C=600$, $R=600$; $x=60$: $C=800$, $R=900$.
• Câu 2: $C=10\cdot 20+200=400$.
• Câu 3: $R=15\cdot 20=300$.
• Câu 4: $L=300-400=-100$, tức lỗ $100$ nghìn đồng.
• Câu 5: $15x=10x+200 \Rightarrow x=40$.
• Câu 6: $L=5\cdot 60-200=100$.
• Câu 7: $5x-200\ge 150 \Rightarrow x\ge 70$; cần tối thiểu $70$ sản phẩm.
• Câu 8: Hệ số $10$ là chi phí biến đổi (vật liệu) cho mỗi sản phẩm; số $200$ là chi phí cố định, không phụ thuộc số sản phẩm trong mô hình.
• Câu 9: Cần kiểm tra nhu cầu thực tế, khả năng bán hết số sản phẩm, chi phí phát sinh ngoài vật liệu và đơn giá vật liệu. Dự báo $L=5\cdot 80-200=200$ nghìn đồng chỉ đúng khi các giả định trên giữ nguyên.

HS thực hiện một sản phẩm thực hành có dữ liệu, quy trình và kiểm chứng: xây dựng mô hình thu – chi cho một quầy giả định, tìm điểm hòa vốn, kiểm chứng bằng bảng số và đề xuất dữ liệu cần kiểm tra trước khi ra quyết định.

Mỗi nhóm lựa chọn một sản phẩm thủ công giả định (ví dụ: vòng tay, móc khóa, đèn giấy), tự đặt các số liệu: chi phí cố định, chi phí vật liệu cho mỗi sản phẩm, giá bán. Nhóm thực hiện theo Phiếu học tập số 2 (phần thực hành):

• Ghi dữ liệu đã chọn và viết các hàm $C$, $R$, $L$ theo $x$.
• Tìm điểm hòa vốn và kiểm chứng bằng cách thế lại số vào hai hàm $C$ và $R$.
• Lập bảng $x$, $C$, $R$, $L$ với ít nhất $4$ giá trị $x$.
• Nêu giả định của mô hình và đề xuất dữ liệu cần kiểm tra trước khi quyết định bán $80$ sản phẩm.
  Sản phẩm: một tờ giấy khổ A0 hoặc bảng nhóm gồm dữ liệu, mô hình, bảng số, đồ thị và phần kiểm chứng.

Sản phẩm nhóm gồm các phần:

• Dữ liệu giả định: chi phí cố định $a$ (nghìn đồng), chi phí vật liệu $b$ (nghìn đồng/sản phẩm), giá bán $c$ (nghìn đồng/sản phẩm), với $c>b$.
• Mô hình: $C=bx+a$, $R=cx$, $L=(c-b)x-a$.
• Hòa vốn: $x=\dfrac{a}{c-b}$; kiểm chứng bằng cách thế $x$ vào $C$ và $R$ và thấy hai giá trị bằng nhau.
• Bảng số với ít nhất $4$ giá trị $x$ và nhận xét dấu của $L$.
• Phần giả định và đề xuất kiểm tra: nhu cầu thực tế, khả năng bán hết, chi phí phát sinh, biến động đơn giá vật liệu.