Giáo án Bài 1. Công thức lãi kép

Huy động kiến thức về tỉ số phần trăm và tính lãi đơn một kì; xác định vấn đề: khi lãi được nhập vào gốc thì số tiền thay đổi như thế nào.

GV đưa tình huống: gửi 1 000 000 đồng, lãi suất 5% mỗi năm, không rút và không gửi thêm. HS trả lời câu hỏi:

• Cuối năm thứ nhất, người gửi có bao nhiêu tiền? Đổi 5% thành số thập phân rồi tính.
• Nếu tiếp tục để năm thứ hai, lãi năm thứ hai được tính trên số tiền nào?
  GV ghi nhiệm vụ học tập của bài: lập công thức và bảng tích lũy cho lãi nhập gốc, rồi so sánh với lãi đơn.

Đáp án dự kiến: cuối năm thứ nhất có $1\,000\,000 \cdot 1{,}05 = 1\,050\,000$ đồng (lãi 50 000 đồng). Lãi năm thứ hai được tính trên 1 050 000 đồng, tức là tính trên cả gốc và lãi của năm trước. HS nêu được vấn đề cần giải quyết: quy luật tính tiền khi lãi nhập gốc qua nhiều kì.

Hình thành công thức $P(1+r)^n$ và kĩ năng lập bảng tích lũy gồm kì, gốc đầu kì, lãi, cuối kì; nêu rõ các giả thiết của mô hình.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ:

• Điền bảng tích lũy cho khoản gửi 1 000 000 đồng, lãi 5% mỗi năm trong 3 năm.
• Từ bảng, tìm số tiền cuối mỗi kì theo $P$ và $r$, dự đoán công thức sau $n$ kì.
• Nêu các giả thiết để công thức đúng.
  GV tham khảo học liệu số NeoEdu để minh hoạ bảng tích lũy nếu có thời gian.

Bảng tích lũy dự kiến (đơn vị đồng):

• Kì 1: gốc đầu kì 1 000 000; lãi 50 000; cuối kì 1 050 000.
• Kì 2: gốc đầu kì 1 050 000; lãi 52 500; cuối kì 1 102 500.
• Kì 3: gốc đầu kì 1 102 500; lãi 55 125; cuối kì 1 157 625.
  Công thức: cuối kì thứ nhất là $P(1+r)$; sau $n$ kì là $P(1+r)^n$.
  Các giả thiết: lãi suất $r$ không đổi, lãi được nhập gốc đúng kì, không gửi thêm và không rút tiền, chưa tính phí và thuế (phải nêu rõ nếu có).

Phân biệt lãi đơn $P(1+nr)$ với lãi kép $P(1+r)^n$; giải thích được vì sao lãi kép lớn hơn từ kì thứ hai.

Cả lớp thảo luận theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi nhóm viết ý kiến vào ô của mình rồi ghép thành một bảng chung. Câu hỏi GV đặt ra:

• Lãi đơn 5% mỗi năm trên 1 000 000 đồng, sau 2 năm được bao nhiêu? So với lãi kép thì khác nhau ở đâu?
• Lãi kép sau 2 năm có phần lãi trên lãi nào?
• Nếu chỉ có 1 kì thì lãi kép và lãi đơn có khác nhau không?

Lãi đơn sau 2 năm: $1\,000\,000(1+2 \cdot 0{,}05) = 1\,100\,000$ đồng.
Lãi kép sau 2 năm: $1\,102\,500$ đồng. Chênh lệch: $1\,102\,500 - 1\,100\,000 = 2\,500$ đồng.
Kết luận HS rút ra: lãi kép có thêm phần lãi trên lãi, tức $P \cdot r^2 = 1\,000\,000 \cdot 0{,}05^2 = 2\,500$ đồng. Khi chỉ có 1 kì thì hai cách tính cho kết quả như nhau.

Vận dụng công thức lãi kép để tính số tiền cuối kì, lãi thu được và so sánh với lãi đơn; rèn kĩ năng dùng máy tính cầm tay.

HS làm bài tập theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1 (phần B). Dữ kiện chung: gửi 1 000 000 đồng, lãi suất không đổi 5% mỗi năm, lãi nhập gốc cuối mỗi năm, không gửi thêm hoặc rút tiền, bỏ qua phí và thuế, trừ câu 7 có dữ kiện riêng. HS thực hiện:

• Câu 2: số tiền cuối năm 1.
• Câu 3: số tiền cuối năm 2.
• Câu 4: lãi thu được sau 2 năm.
• Câu 5: số tiền theo lãi đơn sau 2 năm.
• Câu 6: lãi kép hơn lãi đơn bao nhiêu sau 2 năm.
• Câu 7: gửi 2 000 000 đồng, lãi 10% mỗi kì, sau 2 kì.
  Học liệu số NeoEdu có các bài tập tương tác để HS kiểm tra nhanh đáp số.

Đáp án:

• Câu 2: 1 050 000 đồng ($1\,000\,000 \cdot 1{,}05$).
• Câu 3: 1 102 500 đồng ($1\,050\,000 \cdot 1{,}05$).
• Câu 4: lãi 102 500 đồng ($1\,102\,500 - 1\,000\,000$).
• Câu 5: 1 100 000 đồng ($1\,000\,000(1+2 \cdot 0{,}05)$).
• Câu 6: 2 500 đồng ($1\,102\,500 - 1\,100\,000$).
• Câu 7: 2 420 000 đồng ($2\,000\,000 \cdot 1{,}1^2$).
  HS nêu được cách làm và viết đầy đủ đơn vị đồng trong bài làm.

Giải thích bằng lập luận vì sao tiền cuối hai kì lớn hơn $P(1+2r)$; xây dựng kế hoạch so sánh hai phương án có kì nhập lãi khác nhau.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:

• Câu 8: với gốc $P>0$, lãi suất $r>0$ mỗi kì, lãi nhập gốc, giải thích vì sao tiền cuối hai kì lớn hơn $P(1+2r)$.
• Câu 9: viết kế hoạch so sánh hai ngân hàng có kì nhập lãi khác nhau.
  GV dùng thang chấm: xác định đúng vấn đề (0,25 điểm); lập luận hoặc tính toán đúng (0,5 điểm); kết luận rõ và đúng điều kiện (0,25 điểm).

Câu 8: Tiền cuối kì 2 là $P(1+r)^2 = P + 2Pr + Pr^2$, trong khi $P(1+2r) = P + 2Pr$. Vì $P>0$ và $r>0$ nên $Pr^2>0$, do đó $P(1+r)^2 > P(1+2r)$. Phần $Pr^2$ là lãi kì 2 tính trên lãi kì 1 ($Pr$ nhân $r$).
Câu 9 (định hướng): quy hai phương án về cùng khoảng thời gian; đổi lãi suất theo đúng kì (ví dụ lãi suất năm $R$ nhập $m$ lần mỗi năm thì lãi suất mỗi kì là $\dfrac{R}{m}$); xác định số kì và phí; tính số tiền cuối cùng của mỗi phương án; không so sánh trực tiếp hai con số phần trăm khác kì; kết luận chọn phương án có số tiền cuối lớn hơn, nêu rõ điều kiện không tính phí.

Vận dụng công thức lãi kép vào một tình huống gửi tiết kiệm thực tế; thực hiện sản phẩm thực hành có dữ liệu, quy trình và kiểm chứng.

Mỗi HS (hoặc cặp đôi) chọn một khoản tiền giả định, ví dụ 2 000 000 đồng, lãi suất 6% mỗi năm hoặc 0,5% mỗi tháng, thời gian 3 năm hoặc 36 tháng. HS thực hiện:

• Lập bảng tích lũy đủ các kì, ghi rõ kì, gốc đầu kì, lãi, cuối kì.
• Tính số tiền cuối cùng bằng công thức và đối chiếu với bảng.
• Ghi các giả thiết của mô hình và nêu khoản phí hoặc thuế chưa tính (nếu có).
  Phần còn lại làm ở nhà: so sánh với lãi đơn cùng dữ kiện và viết nhận xét.

Sản phẩm là một bảng tích lũy hoàn chỉnh kèm công thức kiểm chứng, ví dụ với 2 000 000 đồng, lãi 6% mỗi năm trong 3 năm: kì 1 cuối kì 2 120 000 đồng; kì 2 cuối kì 2 247 200 đồng; kì 3 cuối kì 2 382 032 đồng. Kiểm chứng: $2\,000\,000 \cdot 1{,}06^3 = 2\,382\,032$ đồng (làm tròn đến đồng). HS ghi rõ các giả thiết và kết luận về số tiền cuối kì.