Giáo án Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử

Xác định vấn đề bài học: nhận ra việc viết một đa thức dạng tổng thành tích là phân tích đa thức thành nhân tử và kiểm tra bằng nhân ngược.

GV đưa đa thức $2x^2+6x$ lên bảng và hỏi: "Hãy tìm thừa số chung của mọi hạng tử, viết $2x^2+6x$ thành tích, rồi nhân ngược lại để kiểm tra." HS trả lời các câu hỏi gợi mở: Hai hạng tử $2x^2$ và $6x$ có nhân tử chung nào? Viết đa thức thành tích gọi là gì?

$2x^2+6x=2x(x+3)$. Kiểm tra: $2x(x+3)=2x\cdot x+2x\cdot 3=2x^2+6x$, đúng. HS nêu được: viết đa thức thành tích như vậy gọi là phân tích đa thức thành nhân tử; đây là nội dung bài học hôm nay.

Hình thành kiến thức về cách đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử, nêu được cách tìm nhân tử chung của cả biểu thức.

HS làm việc theo nhóm 4 người, hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần A: phân tích $3x^2-6x$ và $4x^2y-6xy^2$ thành nhân tử. GV hướng dẫn HS xác định nhân tử chung gồm ƯCLN của các hệ số và lũy thừa có số mũ nhỏ nhất của biến chung, rồi kiểm tra bằng nhân ngược.

$3x^2-6x=3x(x-2)$ (nhân tử chung $3x$); kiểm tra: $3x(x-2)=3x^2-6x$.
$4x^2y-6xy^2=2xy(2x-3y)$ (nhân tử chung $2xy$); kiểm tra: $2xy(2x-3y)=4x^2y-6xy^2$.
Kiến thức HS rút ra: Bước 1, tìm nhân tử chung trên toàn biểu thức. Bước 2, chia mỗi hạng tử cho nhân tử chung và viết kết quả trong ngoặc. Bước 3, kiểm tra bằng nhân ngược.

Hình thành kiến thức về cách nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử và phối hợp với đặt nhân tử chung.

HS hoạt động theo cặp đôi, hoàn thành phần B của Phiếu học tập số 1: (1) Phân tích $x^2-25$ thành nhân tử. (2) Phân tích $x^2-6x+9$ thành nhân tử. (3) Phân tích $2x^3-8x$: đặt nhân tử chung trước rồi dùng hằng đẳng thức. GV nhắc HS nhận dạng hiệu hai bình phương và bình phương của một hiệu.

$x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)$ (hiệu hai bình phương).
$x^2-6x+9=(x-3)^2$ (bình phương của một hiệu, vì $x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2$).
$2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$ (đặt nhân tử chung $2x$ trước, sau đó dùng hiệu hai bình phương).
Kiến thức HS rút ra: Luôn đặt nhân tử chung trước; sau đó nhận dạng hằng đẳng thức bình phương hoặc hiệu hai bình phương để phân tích tiếp.

Hình thành kiến thức về phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử khi không có nhân tử chung toàn biểu thức.

HS làm việc nhóm 4 người, hoàn thành phần C của Phiếu học tập số 1: Phân tích $a^2-ab+3a-3b$ thành nhân tử. GV gợi ý: nhóm hai hạng tử đầu, nhóm hai hạng tử cuối, rồi tìm nhân tử chung của từng nhóm và của cả biểu thức. Sau đó tính giá trị biểu thức tại $a=7$, $b=2$ bằng cách dùng dạng tích.

$a^2-ab+3a-3b=(a^2-ab)+(3a-3b)=a(a-b)+3(a-b)=(a+3)(a-b)$.
Kiểm tra bằng nhân ngược: $(a+3)(a-b)=a^2-ab+3a-3b$, đúng.
Tại $a=7$, $b=2$: $(7+3)(7-2)=10\cdot 5=50$.
Kiến thức HS rút ra: Khi các hạng tử chưa có nhân tử chung chung, hãy nhóm để xuất hiện nhân tử chung của từng nhóm, rồi đặt nhân tử chung của cả biểu thức.

Vận dụng các phương pháp đã học để giải bài tập; giải thích được từng bước và kiểm tra điều kiện của kết quả, phát hiện được sai lầm trong lập luận.

HS làm việc cặp đôi, giải các bài sau: (1) Tìm nghiệm lớn hơn của $x^2-25=0$. (2) Một bạn cho rằng nghiệm khác 0 của $2x^2-10x=0$ là 6; kiểm tra xem bạn có đúng không. (3) Tính $37\cdot 23+37\cdot 77$ bằng cách đặt nhân tử chung. (4) Phát hiện và sửa sai: "$x^2+4$ có nhân tử $(x+2)(x-2)$". (5) Giải $x^3-4x^2+4x=0$ và giải thích vì sao không chia hai vế cho $x$. GV có thể cho HS luyện thêm trên bài tập tương tác của trang NeoEdu.

(1) $x^2-25=(x-5)(x+5)=0$, suy ra $x=5$ hoặc $x=-5$; nghiệm lớn hơn là $5$.
(2) Sai. $2x^2-10x=2x(x-5)=0$ nên nghiệm khác 0 là $x=5$, không phải 6.
(3) $37\cdot 23+37\cdot 77=37(23+77)=37\cdot 100=3700$.
(4) Sai. $(x+2)(x-2)=x^2-4$, không phải $x^2+4$; không dùng hiệu hai bình phương cho tổng hai bình phương. Gợi ý chấm: xác định đúng vấn đề (0,25); lập luận hoặc tính toán đúng (0,5); kết luận rõ và đúng điều kiện (0,25).
(5) $x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2=0$, suy ra $x=0$ hoặc $x=2$. Không được chia hai vế cho $x$ vì khi đó mất nghiệm $x=0$. Gợi ý chấm: xác định đúng vấn đề (0,25); lập luận hoặc tính toán đúng (0,5); kết luận rõ và đúng điều kiện (0,25).

Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải quyết tình huống thực tế, mô hình hoá bằng đa thức và kiểm tra điều kiện của kết quả.

Một mảnh đất hình vuông có cạnh $x$ m. Người ta cắt bỏ ở một góc một hình vuông cạnh 5 m để làm lối đi, phần đất còn lại có diện tích $x^2-25$ m². (1) Phân tích $x^2-25$ thành nhân tử. (2) Tính diện tích phần đất còn lại khi $x=12$ m bằng dạng tích. (3) Với $x=12$, kiểm tra kết quả bằng cách tính trực tiếp $x^2-25$. Bài tập này HS có thể hoàn thành trên lớp hoặc về nhà nếu thời gian không đủ.

(1) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ (hiệu hai bình phương).
(2) Khi $x=12$: $(12-5)(12+5)=7\cdot 17=119$ (m²).
(3) Tính trực tiếp: $12^2-25=144-25=119$ (m²), khớp với kết quả dạng tích.
Kiến thức HS rút ra: Một đa thức có thể biểu diễn tình huống thực tế; phân tích thành nhân tử giúp tính toán thuận tiện hơn và kiểm tra được kết quả.