Giáo án Bài 8. Tổng và hiệu hai lập phương

HS nhớ lại cách nhân đa thức với đa thức và nhận thấy có mối liên hệ giữa tích $(A+B)(A^2-AB+B^2)$ và tổng hai lập phương, từ đó xác định vấn đề bài học.

GV yêu cầu HS tính $(2+1)(2^2-2\cdot1+1^2)$ và so sánh với $2^3+1^3$. Sau đó GV hỏi: Vì sao hai kết quả bằng nhau? Có phải mọi tích dạng $(A+B)(A^2-AB+B^2)$ đều bằng $A^3+B^3$ không?

HS tính được $(2+1)(2^2-2\cdot1+1^2)=3\cdot3=9$ và $2^3+1^3=8+1=9$. HS nêu được dự đoán: tích $(A+B)(A^2-AB+B^2)$ có thể bằng $A^3+B^3$. Vấn đề bài học được xác định: chứng minh và vận dụng công thức tổng hai lập phương, đồng thời tìm công thức hiệu hai lập phương.

HS khai triển tổng quát $(A+B)(A^2-AB+B^2)$ để chứng minh công thức $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ và giải thích được vì sao hạng tử chéo bị triệt tiêu.

HS làm việc theo cặp, hoàn thành Phiếu học tập số 1 (mục 1). Nhiệm vụ: Nhân lần lượt từng hạng tử của $A+B$ với từng hạng tử của $A^2-AB+B^2$. Rút gọn các hạng tử đồng dạng. Kết luận công thức và nêu lý do dấu của $AB$ trong nhân tử bậc hai là dấu trừ.

Khai triển: $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3=A^3+B^3$. Kiến thức HS rút ra: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$; nhân tử bậc nhất là $A+B$ cùng dấu với biểu thức ban đầu, nhân tử bậc hai có dấu giữa là trừ để $-A^2B$ và $+A^2B$, $+AB^2$ và $-AB^2$ triệt tiêu.

HS khai triển tổng quát $(A-B)(A^2+AB+B^2)$ để chứng minh công thức $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ và so sánh với trường hợp tổng.

HS làm việc theo cặp, hoàn thành Phiếu học tập số 1 (mục 2). Nhiệm vụ: Khai triển $(A-B)(A^2+AB+B^2)$, rút gọn, so sánh dấu với trường hợp tổng và viết công thức hiệu hai lập phương. Sau đó tính $7^3-2^3$ và đối chiếu với ví dụ $(7-2)(7^2+7\cdot2+2^2)$.

Khai triển: $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3=A^3-B^3$. Kiến thức HS rút ra: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$; nhân tử bậc nhất là $A-B$ cùng dấu với biểu thức, nhân tử bậc hai có dấu giữa là cộng. Áp dụng: $(7-2)(7^2+7\cdot2+2^2)=5\cdot67=335$, bằng $7^3-2^3=343-8=335$.

HS vận dụng hằng đẳng thức để tính nhanh giá trị biểu thức số, tính giá trị biểu thức đại số và tìm nghiệm của phương trình dạng $x^3+c=0$.

HS làm bài tập 1, 3, 5, 6 trong SGK (kèm đáp án đối chiếu). GV yêu cầu HS làm cá nhân 3 phút, sau đó đổi vở kiểm tra cặp bên cạnh. Với bài 1: tính $12^3-2^3$ và chọn đáp án đúng trong bốn lựa chọn A. 1721; B. 1719; C. 1720; D. 1722. Bài 3: tính $(7-2)(7^2+7\cdot2+2^2)$. Bài 5: tính giá trị $(x+1)(x^2-x+1)$ tại $x=4$. Bài 6: tìm nghiệm thực của $x^3+64=0$.

Bài 1: Đáp án C, vì $12^3-2^3=1728-8=1720$, cũng bằng $10(144+24+4)=1720$. Bài 3: $335$. Bài 5: $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$, tại $x=4$ có giá trị $65$. Bài 6: $x^3=-64$ nên $x=-4$.

HS nhận biết lỗi dấu trong công thức sai, vận dụng hằng đẳng thức để giải thích một điều kiện và trình bày lập luận có kết luận đúng điều kiện.

HS làm việc theo nhóm 4 người, hoàn thành Phiếu học tập số 2. Nhóm làm bài 4 (hằng số của nhân tử bậc hai khi phân tích $x^3-27$; một bạn trả lời 10, hỏi đúng không?), bài 7 (phát hiện và sửa sai $x^3+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2)$), bài 8 (chứng minh $n^3-1$ chia hết cho $n-1$ với số nguyên $n\ne1$).

Bài 4: Sai. $x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$, hằng số là $9$. Bài 7: Sai ở dấu giữa; đúng là $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Bài 8: $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$; vì $n^2+n+1$ là số nguyên nên $n^3-1$ chia hết cho $n-1$. Quan niệm sai cần tránh: viết $x^3+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2)$ vì quên đổi dấu giữa.

HS mô hình hoá một tình huống thực tế bằng biểu thức có dạng tổng hai lập phương và tính kết quả bằng hằng đẳng thức, đồng thời kiểm tra lại bằng cách tính trực tiếp.

Đề bài: Một bạn có hai khối gỗ hình lập phương, một khối cạnh $5\,\text{cm}$ và một khối cạnh $3\,\text{cm}$. Tính tổng thể tích hai khối gỗ bằng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, rồi kiểm tra bằng cách tính trực tiếp $5^3+3^3$.

Biểu thức thể tích: $5^3+3^3=(5+3)(5^2-5\cdot3+3^2)=8\cdot19=152$. Tổng thể tích là $152\,\text{cm}^3$. Kiểm tra: $125+27=152$, khớp kết quả.