Giáo án Toán 8 Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu (Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

Nêu được hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ và nhận biết được dạng của nó trong biểu thức.
Phát biểu và viết được hai hằng đẳng thức $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ , trong đó A, B có thể là biểu thức.
Giải thích được vì sao hạng tử giữa là $2AB$ bằng cách dựa vào mô hình diện tích hình vuông cạnh $a+b$ .
Vận dụng được ba hằng đẳng thức để tính nhanh giá trị số (ví dụ $49^2$ , $103^2-3^2$ ) và rút gọn biểu thức đơn giản.
Kiểm tra được điều kiện và tính đúng của kết quả, phát hiện được lỗi sai thường gặp như $(a-b)^2=a^2-b^2$ .

2. Năng lực

a) Năng lực chung

Tự chủ và tự học: chủ động đọc hiểu phiếu học tập, tự rút ra công thức từ ví dụ và tự kiểm tra lại kết quả bằng cách thế số.
Giao tiếp và hợp tác: trao đổi trong nhóm để thống nhất cách nhận diện A, B và trình bày lập luận khi báo cáo trước lớp.
Giải quyết vấn đề và sáng tạo: lựa chọn hằng đẳng thức phù hợp để tính nhanh, đưa ra hai cách chứng minh cùng một đẳng thức.

b) Năng lực đặc thù

Tư duy và lập luận toán học: giải thích được quan hệ giữa hình vuông cạnh $a+b$ và công thức $(a+b)^2$ ; chứng minh đẳng thức bằng khai triển và bằng hiệu hai bình phương.
Mô hình hoá toán học: biểu diễn diện tích hình vuông và các hình thành phần bằng biểu thức đại số $a^2$ , $ab$ , $b^2$ .
Giải quyết vấn đề toán học: chọn hằng đẳng thức phù hợp để tính $49^2$ , $103^2-3^2$ , $(17+3)^2-17^2-3^2$ một cách nhanh và đúng.
Giao tiếp toán học: viết đúng và đọc đúng các hằng đẳng thức bằng ký hiệu toán học; trình bày các bước giải theo trình tự logic.
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng bài giảng, ví dụ và bài tập tương tác trên trang NeoEdu để kiểm tra kết quả.

3. Phẩm chất

Chăm chỉ: tích cực luyện tập các bài tính nhanh và hoàn thành đầy đủ phiếu học tập trong thời gian quy định.
Trách nhiệm: nghiêm túc thực hiện nhiệm vụ nhóm, kiểm tra chéo kết quả của bạn trước khi báo cáo.
Trung thực: thừa nhận và sửa lỗi sai của bản thân khi thế số kiểm tra, không sao chép kết quả của bạn mà không kiểm chứng.

II. Thiết bị dạy học và học liệu

1. Giáo viên

Bảng phụ hoặc máy chiếu ghi các hằng đẳng thức và đề bài trong tiết học.
Phiếu học tập số 1 và Phiếu học tập số 2 (in cho mỗi nhóm).
Thước kẻ, bút dạ để GV minh họa mô hình hình vuông cạnh $a+b$ trên bảng.
Học liệu số NeoEdu: trang bài học có bài giảng, ví dụ và bài tập tương tác tại neoedu.vn/learn/8/math/bai-6-hieu-hai-binh-phuong-binh-phuong-cua-mot-tong-hay-mot-hieu (dùng ở hoạt động Hình thành kiến thức và Luyện tập).

2. Học sinh

Vở ghi, bút, nháp, máy tính cầm tay (chỉ dùng để kiểm tra kết quả).
Bút dạ và tờ giấy A0 hoặc khổ lớn nếu nhóm trình bày khăn trải bàn.
Thước kẻ, kéo và giấy màu để cắt hình vuông, hình chữ nhật minh họa (nếu có).

III. Tiến trình dạy học

Hoạt động 1: Mở đầu · 10 phút

Trò chơi đúng hay sai và thách thức tính nhanh

a) Mục tiêu

Huy động kiến thức nền về bình phương của một số và biểu thức, tạo tình huống có vấn đề dẫn vào bài học.

b) Nội dung

GV chiếu ba nhận định và yêu cầu HS giơ tay Đúng hoặc Sai, sau đó thử tính nhanh $49^2$ mà không dùng máy tính:

Nhận định 1: $(a+b)^2=a^2+b^2$ .
Nhận định 2: $(a-b)^2=a^2-b^2$ .
Nhận định 3: $(x+1)(x-1)=x^2-1$ .
Thách thức: Tính nhanh $49^2$ bằng cách viết $49=50-1$ .

c) Sản phẩm

Kết quả dự kiến: Nhận định 1 Sai; nhận định 2 Sai; nhận định 3 Đúng. HS nhận ra $(a+b)^2$ có thêm hạng tử giữa $2ab$ ; $(a-b)^2$ cũng không chỉ là $a^2-b^2$ . Từ đó HS nêu được ý tưởng tính $49^2=(50-1)^2$ và dự đoán cần có công thức bình phương của một hiệu và tổng.

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Giáo viên
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
GV chiếu ba nhận định, nêu luật chơi: mỗi nhận định, HS giơ thẻ Đúng hoặc Sai trong 30 giây. GV nêu thách thức tính nhanh $49^2$ và hỏi: “Có cách nào tính $49^2$ mà không cần nhân trực tiếp $49\times49$ ?”
Học sinh
HS lắng nghe, suy nghĩ cá nhân và giơ thẻ Đúng/Sai theo hiểu biết của mình.
Giáo viên
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
GV quan sát số lượng HS giơ thẻ đúng, gợi ý nhẹ: “Thử thay a=1, b=1 vào nhận định 1 xem có đúng không?”
Học sinh
HS thử thay số vào từng nhận định, nháp kết quả ra giấy nháp. Với $49^2$ , HS có thể nêu: “Viết $49$ thành $50-1$ thì dễ tính hơn.”
Giáo viên
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
GV mời 2–3 HS trình bày lý do chọn Đúng/Sai và cách tính $49^2$ . GV ghi nhanh các ý kiến lên bảng.
Học sinh
HS trả lời dự kiến: “Nhận định 1 sai vì khi a=1, b=1 thì $(1+1)^2=4$ , còn $1^2+1^2=2$ .” “Nhận định 2 sai vì $(3-1)^2=4$ mà $3^2-1^2=8$ .” “Tính $49^2=(50-1)^2$ có thể làm nhanh hơn.”
Giáo viên
Bước 4: Kết luận, nhận định
GV nhận xét và khẳng định: các nhận định 1, 2 sai, nhận định 3 đúng. GV nêu vấn đề của bài: cần tìm công thức khai triển $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ và công thức $a^2-b^2$ để tính nhanh.
Học sinh
HS ghi tên bài vào vở: Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu.

Hoạt động 2.1: Hình thành kiến thức mới · 20 phút

Hiệu hai bình phương và tích hai biểu thức liên hợp

a) Mục tiêu

Hình thành công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ và nhận biết được dạng hiệu hai bình phương.

b) Nội dung

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1: thực hiện phép nhân $(A-B)(A+B)$ với các cặp số và biểu thức cụ thể, so sánh kết quả với $A^2-B^2$ , sau đó phát biểu quy luật. HS lưu ý A, B có thể là biểu thức. Trên trang NeoEdu, GV cho HS xem phần bài giảng về hiệu hai bình phương để đối chiếu.

c) Sản phẩm

Kết quả HS rút ra: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Với $(A-B)(A+B)=A^2+AB-AB-B^2=A^2-B^2$ . Ví dụ: $(5-2)(5+2)=21=5^2-2^2$ ; $(x+3)(x-3)=x^2-9$ ; $(2x-1)(2x+1)=4x^2-1$ . Điều kiện: không có điều kiện, công thức đúng với mọi A, B là biểu thức.

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Giáo viên
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
GV phát Phiếu học tập số 1, yêu cầu cặp đôi thực hiện câu 1 đến câu 3 trong 8 phút, sau đó tự rút ra quy luật ở câu 4.
Học sinh
HS nhận phiếu, đọc đề và phân công: một bạn tính, một bạn kiểm tra lại.
Giáo viên
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
GV đi quanh lớp, hỏi: “Hai thừa số $(A-B)$ và $(A+B)$ khác nhau ở dấu nào? Khi nhân, phần giữa có triệt tiêu không?”
Học sinh
HS thực hiện nhân đa thức, thu gọn phần giữa $AB-AB=0$ , nhận ra kết quả chỉ còn $A^2-B^2$ .
Giáo viên
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
GV mời 2 cặp báo cáo kết quả câu 2 và câu 4, yêu cầu các cặp khác nhận xét.
Học sinh
HS trả lời dự kiến: “Khi nhân $(5-2)(5+2)$ ta được $25+10-10-4=25-4=21$ , bằng $5^2-2^2$ .” “Quy luật: bình phương thứ nhất trừ bình phương thứ hai bằng tích hiệu và tổng của hai biểu thức.”
Giáo viên
Bước 4: Kết luận, nhận định
GV chốt: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với A, B là số hoặc biểu thức. Nhấn mạnh điều kiện nhận diện: phải có đúng hai số hạng, đều là bình phương, dấu trừ ở giữa. GV nêu ví dụ $(x+3)(x-3)=x^2-9$ để HS ghi vào vở.
Học sinh
HS ghi công thức, ví dụ và tự kiểm tra lại câu 4 trong phiếu.

Hoạt động 2.2: Hình thành kiến thức mới · 20 phút

Bình phương của một tổng và một hiệu

a) Mục tiêu

Hình thành công thức $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ thông qua mô hình diện tích; giải thích được hạng tử giữa.

b) Nội dung

Nhóm 4 HS thực hiện nhiệm vụ trên khăn trải bàn hoặc Phiếu học tập số 2: vẽ hình vuông cạnh $a+b$ với $a,b>0$ rồi chia thành bốn phần; tính diện tích từng phần và tổng diện tích; sau đó thay $a$ bởi $A$ , $b$ bởi $B$ để suy ra công thức. Với $(2x-3)^2$ , nhóm xác định A=2x, B=3 và tính. Dùng mô hình của bài học và chú ý đây là mô hình bình phương, không phải khối lập phương.

c) Sản phẩm

Kết quả HS rút ra: Hình vuông cạnh $a+b$ có diện tích $(a+b)^2$ , được chia thành hình vuông $a^2$ , hình vuông $b^2$ và hai hình chữ nhật, mỗi hình diện tích $ab$ . Suy ra $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; thay $b$ bởi $-b$ hoặc lập luận tương tự ta được $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Ví dụ: $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ ; hạng tử giữa $-12x=2\cdot 2x\cdot(-3)$ chứa cả hệ số 2 và hai thành phần. Điều kiện: $a,b>0$ khi giải thích bằng hình; công thức đúng với mọi A, B.

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Giáo viên
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
GV chiếu hình vuông cạnh $a+b$ đã chia thành bốn phần (vẽ trên bảng hoặc dùng hình trong bài học). GV giao nhiệm vụ: tính diện tích từng phần, lập tổng và rút ra công thức; sau đó thực hiện ví dụ $(2x-3)^2$ .
Học sinh
HS nhận Phiếu học tập số 2, phân công vai: người vẽ hình, người tính diện tích, người ghi kết quả, người kiểm tra.
Giáo viên
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
GV hỏi: “Diện tích hình vuông lớn bằng tổng những diện tích nào? Hai hình chữ nhật có cùng diện tích không?”. GV hướng dẫn nhóm yếu bằng câu hỏi gợi mở về số đo cạnh.
Học sinh
HS tính: $a^2+ab+ab+b^2$ nên $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Với $(2x-3)^2$ , HS viết A=2x, B=3 rồi thay vào công thức để được $4x^2-12x+9$ .
Giáo viên
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
GV mời đại diện 2 nhóm trình bày, yêu cầu các nhóm khác kiểm tra bằng cách thay $a=1$ , $b=2$ vào hai vế.
Học sinh
HS trả lời dự kiến: “Hình vuông lớn gồm $a^2$ , $b^2$ , hai hình chữ nhật $ab$ , nên tổng là $a^2+2ab+b^2$ .” “Khi $a=1$ , $b=2$ : $(1+2)^2=9$ , $1+4+4=9$ , khớp.”
Giáo viên
Bước 4: Kết luận, nhận định
GV chốt hai công thức $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ và $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ . Nhấn mạnh: hạng tử giữa là $2AB$ , không quên hệ số 2; khi B có dấu trừ thì hạng tử giữa mang dấu trừ. GV nêu quan niệm sai $(a-b)^2=a^2-b^2$ với ví dụ $a=3$ , $b=1$ .
Học sinh
HS ghi hai công thức và ví dụ $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$ vào vở, nêu lại vì sao có hạng tử giữa.

Hoạt động 3: Luyện tập · 25 phút

Luyện tập tính nhanh và phát hiện lỗi sai

a) Mục tiêu

Củng cố nhận diện A, B; vận dụng ba hằng đẳng thức để tính nhanh và kiểm tra kết quả bằng thế số.

b) Nội dung

HS hoàn thành Phiếu học tập số 2 (phần Luyện tập) theo nhóm 4, sau đó dùng bài tương tác trên NeoEdu để kiểm tra đáp án. Các bài tập: (1) $103^2-3^2$ với bốn phương án A. 10601; B. 10599; C. 10600; D. 10602. (2) Hệ số của x trong $(x+5)^2$ là bao nhiêu? (3) Tính $49^2$ . (4) Một bạn cho rằng giá trị của $(2x-1)^2$ tại $x=-2$ là 26, bạn đúng không? (5) Tính $(17+3)^2-17^2-3^2$ . (6) Hằng số của $(3x-4)^2$ là bao nhiêu?

c) Sản phẩm

Đáp án: (1) C, 10600, vì $(103-3)(103+3)=100\cdot106=10600$ . (2) 10, vì $2\cdot x\cdot5=10x$ . (3) 2401, vì $(50-1)^2=2500-100+1=2401$ . (4) Sai; $(2\cdot(-2)-1)^2=(-5)^2=25$ . (5) 102, vì $(17+3)^2-17^2-3^2=2\cdot17\cdot3=102$ . (6) 16, vì hằng số là $(-4)^2=16$ .

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Giáo viên
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
GV chiếu bài tập lên màn hình, chia nhóm 4 và giao 8 phút hoàn thành bài 1 đến bài 4, sau đó 6 phút hoàn thành bài 5 và 6. GV nhắc: “Trước khi trả lời, hãy xác định A và B.”
Học sinh
HS nhận phiếu, đọc đề, thảo luận và ghi đáp án vào phiếu nhóm.
Giáo viên
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
GV đi quanh lớp, kiểm tra cách nhận diện A, B; gợi ý: “Với $(3x-4)^2$ , hằng số là giá trị nào khi không còn x?”
Học sinh
HS nhận diện A, B, áp dụng hằng đẳng thức hoặc thế số; kiểm tra chéo kết quả trong nhóm.
Giáo viên
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
GV chọn 2 nhóm trình bày bài 1 và bài 4; yêu cầu nhóm khác nhận xét về điều kiện và cách lập luận.
Học sinh
HS trả lời dự kiến: “Bài 1 chọn C vì $103^2-3^2=(103-3)(103+3)=100\cdot106=10600$ .” “Bài 4 sai vì $(2\cdot(-2)-1)^2=(-5)^2=25$ , không phải 26.”
Giáo viên
Bước 4: Kết luận, nhận định
GV nhấn mạnh: khi gặp $A^2-B^2$ nên dùng hiệu hai bình phương; khi gặp $(A\pm B)^2$ nên khai triển; luôn kiểm tra kết quả bằng cách thế số. GV yêu cầu HS sửa lỗi trong vở nếu có sai.
Học sinh
HS sửa đáp án sai, ghi vào vở ghi nhớ: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ; $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ ; $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ .

Hoạt động 4: Vận dụng · 15 phút

Tính diện tích nền nhà và chứng minh đẳng thức

a) Mục tiêu

Vận dụng hằng đẳng thức vào tình huống thực tế; giải thích từng bước và kiểm tra điều kiện của kết quả bằng hai cách.

b) Nội dung

Tình huống: Một nền nhà hình vuông có cạnh 49 dm. Tính diện tích nền nhà bằng cách viết $49=50-1$ . Nhiệm vụ mở rộng: Chứng minh $(x+2)^2-(x-2)^2=8x$ bằng hai cách (khai triển; dùng hiệu hai bình phương). Phần này có thể giao về nhà nếu hết giờ.

c) Sản phẩm

Diện tích nền nhà: $49^2=(50-1)^2=2500-100+1=2401$ (dm²). Chứng minh bằng cách 1: $(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$ . Chứng minh bằng cách 2: $[(x+2)-(x-2)][(x+2)+(x-2)]=4\cdot2x=8x$ . Điều kiện: x là số thực bất kỳ; kết quả đúng với mọi x.

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Giáo viên
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
GV nêu bài toán thực tế về nền nhà 49 dm và yêu cầu HS tính diện tích; sau đó giao bài chứng minh cho nhóm đầu tiên, đọc to yêu cầu hai cách.
Học sinh
HS nhận nhiệm vụ, suy nghĩ cá nhân trong 3 phút rồi trao đổi nhóm đôi.
Giáo viên
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
GV hỏi: “Vì sao nên viết 49 thành 50 trừ 1?” và “Hai cách chứng minh có kết quả giống nhau không?”
Học sinh
HS viết $49^2=(50-1)^2$ , khai triển và tính ra 2401 dm²; với bài chứng minh, HS khai triển hoặc dùng hiệu hai bình phương để tính.
Giáo viên
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
GV mời 1 HS trình bày diện tích nền nhà và 1 HS trình bày chứng minh; yêu cầu kiểm tra bằng cách thay $x=1$ vào hai vế.
Học sinh
HS trả lời dự kiến: “Diện tích nền nhà là 2401 dm².” “Với $x=1$ : $(3)^2-(-1)^2=9-1=8=8\cdot1$ , đúng.”
Giáo viên
Bước 4: Kết luận, nhận định
GV tổng kết: hằng đẳng thức giúp tính nhanh và chứng minh đẳng thức; luôn xác định A, B trước khi thế vào công thức và kiểm tra kết quả. GV nhận xét tinh thần làm việc của các nhóm.
Học sinh
HS ghi kết quả vào vở, tự đánh giá mức độ hiểu bài theo 3 ý: nhận diện A, B; khai triển đúng; kiểm tra kết quả.

Phiếu học tập

Phiếu học tập số 1

Hoạt động: Hiệu hai bình phương (làm theo cặp đôi).

Câu 1: Tính $(A-B)(A+B)$ khi $A=5$ , $B=2$ rồi so sánh với $A^2-B^2$ .
Câu 2: Tính $(5-2)(5+2)$ và $5^2-2^2$ , nhận xét kết quả.
Câu 3: Thực hiện $(x+3)(x-3)$ và $(2x-1)(2x+1)$ ; viết kết quả dạng đa thức thu gọn.
Câu 4: Từ các kết quả trên, phát biểu quy luật bằng lời và bằng công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .
Ghi chú: A, B có thể là số hoặc biểu thức; hãy xác định A và B trước khi áp dụng.

Phiếu học tập số 2

Hoạt động 1: Bình phương của một tổng và một hiệu (làm theo nhóm 4).

Vẽ hình vuông cạnh $a+b$ với $a,b>0$ và chia thành bốn phần: hình vuông cạnh $a$ , hình vuông cạnh $b$ và hai hình chữ nhật.
Tính diện tích từng phần: $a^2$ ; $b^2$ ; $ab$ ; $ab$ .
Tính diện tích hình vuông lớn theo hai cách và suy ra $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .
Với $(2x-3)^2$ : xác định A=…, B=…, rồi viết kết quả khai triển.
Hoạt động 2: Luyện tập (làm theo nhóm 4).
Bài 1: Chọn đáp án đúng cho $103^2-3^2$ : A. 10601; B. 10599; C. 10600; D. 10602.
Bài 2: Hệ số của x trong $(x+5)^2$ là bao nhiêu?
Bài 3: Tính $49^2$ bằng cách viết $49=50-1$ .
Bài 4: Bạn An tính $(2x-1)^2$ tại $x=-2$ được kết quả 26. Bạn An đúng không? Vì sao?
Bài 5: Tính $(17+3)^2-17^2-3^2$ .
Bài 6: Hằng số của $(3x-4)^2$ là bao nhiêu?

Hướng dẫn về nhà

Ôn lại ba hằng đẳng thức: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ; $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ ; $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ , ghi nhớ điều kiện A, B có thể là biểu thức.
Làm các bài tập trong sách giáo khoa về tính nhanh giá trị số, ví dụ $98^2$ và $102^2$ ; trình bày bằng cách viết $98=100-2$ , $102=100+2$ .
Chứng minh đẳng thức $(x+2)^2-(x-2)^2=8x$ bằng hai cách; kiểm tra lại bằng cách thay $x=1$ vào hai vế.
Tìm một ví dụ thực tế (diện tích sân, nền nhà, tấm bìa) có thể tính nhanh bằng hằng đẳng thức, viết lời giải ngắn vào vở.
Xem lại trang bài học trên NeoEdu để tự kiểm tra đáp án các bài tập tương tác.