Giáo án Bài 39. Hình chóp tứ giác đều

HS nhận biết hình chóp tứ giác đều qua vật thật và hình ảnh; nêu được vấn đề cần tìm hiểu: tính diện tích bề mặt và thể tích của hình chóp.

GV chiếu hình ảnh một số công trình và vật dụng có dạng hình chóp (mái chóp vuông của nhà, mái lều, nóc tháp) và đưa ra mô hình hình chóp tứ giác đều. HS quan sát và trả lời các câu hỏi: (1) Hình nào là hình chóp? (2) Đáy của hình chóp có dạng hình gì? (3) Các mặt bên có dạng hình gì? (4) Nếu muốn lợp kín mái chóp hoặc chứa đầy một chiếc hộp hình chóp thì cần biết những đại lượng nào?

HS nêu được: đáy là hình vuông; bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau; để lợp mái cần tính diện tích mặt bên, để chứa vật cần tính thể tích. GV ghi tên bài “Hình chóp tứ giác đều” và nêu nhiệm vụ: tìm cách tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$ và các yếu tố $h$, $d$.

HS nêu được đặc điểm của hình chóp tứ giác đều; phân biệt được chiều cao $h=SO$ và trung đoạn $d=SM$; giải thích được vì sao tam giác $SOM$ vuông tại $O$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, quan sát hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $O$ là giao điểm hai đường chéo đáy, $M$ là trung điểm $BC$. Nhiệm vụ: (1) Đáy $ABCD$ là hình gì? (2) Vì sao $SO$ là chiều cao của hình chóp? (3) $SM$ là gì trong mặt bên $SBC$? (4) Vì sao $SA$ không phải là trung đoạn? (5) Tam giác $SOM$ là tam giác gì, vì sao?

Đáy $ABCD$ là hình vuông. $SO$ là chiều cao $h$, vuông góc với mặt đáy tại $O$, $O$ là giao hai đường chéo đáy. $SM$ là trung đoạn $d$, là đường cao của mặt bên $SBC$, $M$ là trung điểm $BC$, $OM=\dfrac{a}{2}$. Cạnh bên $SA$ nối đỉnh với đỉnh đáy nên khác trung đoạn. Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ vì $SO\perp(ABCD)$ nên $SO\perp OM$, từ đó $d^2=h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$. Kiến thức HS rút ra: chiều cao dùng để tính thể tích, trung đoạn dùng để tính diện tích xung quanh.

HS thiết lập được công thức $S_{xq}=2ad$, $S_{đáy}=a^2$, $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ từ việc khai triển mặt xung quanh; vận dụng được vào ví dụ cụ thể.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Mặt xung quanh gồm bao nhiêu tam giác, mỗi tam giác có đáy và chiều cao là bao nhiêu? (2) Tính diện tích một mặt bên theo $a$ và $d$. (3) Suy ra $S_{xq}$ và $S_{tp}$. (4) Làm ví dụ: chóp đều có cạnh đáy $8$ cm, trung đoạn $5$ cm, tính $S_{xq}$.

Mặt xung quanh gồm 4 tam giác cân bằng nhau, mỗi tam giác có đáy $a$ và chiều cao $d$. Diện tích một mặt bên là $\dfrac{1}{2}ad$. Suy ra $S_{xq}=4\cdot\dfrac{1}{2}ad=2ad$; $S_{đáy}=a^2$; $S_{tp}=2ad+a^2$. Ví dụ: $S_{xq}=2\cdot 8\cdot 5=80$ cm$^2$.

HS nêu được công thức $V=\dfrac{a^2h}{3}$; vận dụng được định lí Pythagoras để tính $h$ hoặc $d$ khi biết hai trong ba đại lượng $a$, $h$, $d$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2 (phần 2). Nhiệm vụ: (1) Nêu công thức thể tích và giải thích từng kí hiệu. (2) Tính thể tích chóp có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $10$ cm. Một bạn trả lời $121$ cm$^3$, hỏi bạn đúng hay sai. (3) Chóp có cạnh đáy $6$ cm, trung đoạn $5$ cm, tính chiều cao. Gợi ý: xét tam giác $SOM$ với $OM=\dfrac{a}{2}$.

$V=\dfrac{a^2h}{3}$, với $a$ là cạnh đáy, $h$ là chiều cao. Với $a=6$, $h=10$: $V=\dfrac{6^2\cdot 10}{3}=120$ cm$^3$; bạn trả lời 121 cm$^3$ là sai. Với $a=6$, $d=5$: $OM=3$, $h^2=5^2-3^2=16$, suy ra $h=4$ cm. Kiến thức HS rút ra: muốn tìm $h$ hoặc $d$ thì dùng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $SOM$.

HS vận dụng các công thức và tính chất để trả lời nhanh câu hỏi nhận biết, tính toán và phát hiện, sửa sai; rèn kĩ năng kiểm tra điều kiện của kết quả.

HS làm việc theo cặp đôi, lần lượt giải các câu sau và ghi đáp án vào bảng con: (1) Chóp tứ giác có bao nhiêu mặt bên? A. 5; B. 3; C. 4; D. 6. (2) Chóp tứ giác có bao nhiêu cạnh? (3) Chóp đều có cạnh đáy $8$ cm, trung đoạn $5$ cm, tính $S_{xq}$. (4) Cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $10$ cm, tính $V$; bạn trả lời $121$ cm$^3$ có đúng không? (5) Cạnh đáy $6$ cm, trung đoạn $5$ cm, tính chiều cao. (6) Cạnh đáy $4$ cm, trung đoạn $6$ cm, tính $S_{tp}$. (7) Phát hiện và sửa sai: “Chóp tứ giác đều có mọi cạnh bằng nhau.” Với các câu không ghi tên hình, xét hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.

(1) Đáp án C, vì bốn cạnh đáy tạo bốn mặt bên. (2) 8 cạnh (4 cạnh đáy và 4 cạnh bên). (3) $S_{xq}=2\cdot 8\cdot 5=80$ cm$^2$. (4) Sai; $V=\dfrac{6^2\cdot 10}{3}=120$ cm$^3$. (5) $h=4$ cm vì $h^2=5^2-3^2=16$. (6) $S_{xq}=2\cdot 4\cdot 6=48$ cm$^2$; $S_{đáy}=16$ cm$^2$; $S_{tp}=64$ cm$^2$. (7) Sai. Đúng là chỉ có bốn cạnh đáy bằng nhau và bốn cạnh bên bằng nhau; cạnh bên không nhất thiết bằng cạnh đáy. Thang chấm gợi ý cho câu (7): xác định đúng vấn đề (0,25 điểm); lập luận hoặc tính toán đúng (0,5 điểm); kết luận rõ và đúng điều kiện (0,25 điểm).

HS mô hình hoá tình huống mái chóp thực tế bằng hình chóp tứ giác đều, tính diện tích cần lợp và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Bài toán: Mái chóp vuông có cạnh đáy $10$ m, chiều cao $12$ m. Tính diện tích cần lợp, không kể hao hụt. HS làm việc theo nhóm 4: (1) Vẽ hình chóp tương ứng với mái, đánh dấu $a$, $h$, $d$. (2) Tính trung đoạn $d$. (3) Tính diện tích lợp (chỉ tính bốn mặt bên, không tính đáy mái). (4) Nêu ý nghĩa kết quả và kiểm tra lại điều kiện.

Trung đoạn $d=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ m (vì $OM=\dfrac{10}{2}=5$ m). Diện tích cần lợp: $S_{xq}=2\cdot 10\cdot 13=260$ m$^2$. Kiểm tra: $d=13$ m lớn hơn $h=12$ m và lớn hơn $\dfrac{a}{2}=5$ m, phù hợp với hình thực tế. Kết luận: cần lợp khoảng $260$ m$^2$ vật liệu, chưa tính hao hụt.