Giáo án Bài 38. Hình chóp tam giác đều

Gợi nhớ kiến thức về hình chóp và tạo tình huống để HS nhận ra cần phân biệt chiều cao của hình chóp với trung đoạn.

GV đưa mô hình hình chóp tam giác đều S.ABC lên lớp và yêu cầu HS quan sát hình vẽ trên bảng. HS trả lời nhanh ba câu hỏi: (1) Đáy của hình chóp là hình gì? (2) Có mấy mặt bên và chúng là hình gì? (3) Đoạn SO và đoạn SM khác nhau thế nào?

HS nêu được: đáy ABC là tam giác đều; có ba mặt bên là các tam giác SAB, SBC, SCA; SO vuông góc với mặt đáy, O là tâm đáy, còn SM là đường cao của mặt bên SBC nên SM là trung đoạn. Từ đó, GV nêu nhiệm vụ học tập của bài: tìm công thức tính diện tích và thể tích của hình chóp tam giác đều.

HS nêu được định nghĩa hình chóp tam giác đều và phân biệt được trung đoạn với chiều cao của hình chóp.

HS làm việc nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1 gồm bảng điền các yếu tố của hình chóp tam giác đều S.ABC. Nhiệm vụ: (1) Đáy là hình gì? (2) Chân đường cao H trùng với điểm nào? (3) Các mặt bên là tam giác gì? (4) Chiều cao SO và trung đoạn SM khác nhau ở điểm nào? (5) Trung đoạn có thuộc mặt phẳng đáy không?

Kiến thức HS rút ra: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều; chân đường cao trùng tâm đáy; các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Chiều cao SO vuông góc với mặt đáy; trung đoạn SM là đường cao của mặt bên SBC, không vuông góc với mặt đáy. Trung đoạn có độ dài lớn hơn chiều cao của hình chóp (vì SM là cạnh huyền trong tam giác vuông SOM). Đáp án các câu: (1) tam giác đều; (2) tâm đáy; (3) tam giác cân (bằng nhau); (4) SO vuông góc mặt đáy, SM nằm trong mặt bên; (5) không.

HS xây dựng và giải thích được công thức $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot$ chu vi đáy $\cdot$ trung đoạn và công thức $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$.

HS quan sát hình chóp với ba mặt bên là ba tam giác cân bằng nhau có chung đáy là các cạnh của tam giác đáy và chung chiều cao là trung đoạn. Dùng Phiếu học tập số 1 (phần 2) để điền các bước: Tính diện tích một mặt bên theo cạnh đáy và trung đoạn; nhân ba để có $S_{xq}$; biểu diễn $S_{xq}$ theo chu vi đáy và trung đoạn; cộng thêm diện tích đáy để có $S_{tp}$.

Diện tích một mặt bên: $\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot d$ (a là cạnh đáy, d là trung đoạn). Ba mặt bên có chung trung đoạn nên $S_{xq}=3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot d=\dfrac{1}{2}\cdot(3a)\cdot d$. Vì $3a$ là chu vi đáy nên kết luận: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot$ chu vi đáy $\cdot$ trung đoạn. Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$. Đơn vị: cm² nếu đo bằng cm.

HS nêu được công thức $V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{đáy}\cdot h$ và giải thích được vì sao phải dùng chiều cao của hình chóp chứ không dùng trung đoạn.

GV dùng mô hình để minh hoạ: hình chóp tam giác đều có thể tích bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích hình lăng trụ cùng đáy và cùng chiều cao. HS trả lời câu hỏi: (1) Thể tích hình chóp phụ thuộc vào những yếu tố nào? (2) Khi tính V, dùng chiều cao SO hay trung đoạn SM? Vì sao?

Công thức: $V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{đáy}\cdot h$, trong đó $S_{đáy}$ là diện tích tam giác đều đáy và $h$ là chiều cao hình chóp (khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy, tức đoạn SO). Đơn vị thể tích là cm³ khi các kích thước đo bằng cm. Trung đoạn SM không dùng để tính V vì SM không vuông góc với mặt đáy.

HS vận dụng được các công thức để giải các bài tập trắc nghiệm, điền khuyết, tính toán và phát hiện lỗi sai trong lập luận.

HS làm Phiếu học tập số 2 theo nhóm đôi: (1) Chóp tam giác có bao nhiêu mặt bên? A. 5; B. 4; C. 2; D. 3. (2) Chóp tam giác có bao nhiêu đỉnh? Điền kết quả. (3) Chóp tam giác đều cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 5 cm. Tính $S_{xq}$. (4) $S_{đáy}=24$ cm², chiều cao 9 cm. Tính V. Một bạn trả lời 73 cm³, bạn ấy đúng không? (5) $S_{xq}=90$ cm², $S_{đáy}=30$ cm². Tính $S_{tp}$. (6) Chóp tam giác đều có bao nhiêu cạnh? (7) Phát hiện và sửa sai: "Thể tích chóp bằng diện tích đáy nhân trung đoạn chia 3".

Đáp án: (1) D, vì mỗi cạnh đáy ứng với một mặt bên. (2) 4 đỉnh (3 đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp). (3) $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot(3\cdot6)\cdot5=45$ cm². (4) Sai; $V=\dfrac{1}{3}\cdot24\cdot9=72$ cm³. (5) $S_{tp}=90+30=120$ cm². (6) 6 cạnh (3 cạnh đáy và 3 cạnh bên). (7) Sai ở chỗ dùng trung đoạn thay cho chiều cao; đúng phải là $V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{đáy}\cdot$ chiều cao vuông góc với mặt đáy; trung đoạn chỉ dùng cho diện tích xung quanh.

HS mô hình hoá tình huống thực tế và vận dụng công thức diện tích xung quanh để tính chi phí, đồng thời kiểm tra điều kiện của bài toán.

Tình huống: Một mô hình chóp tam giác đều có chu vi đáy 24 cm, trung đoạn 10 cm. Người ta phủ giấy lên ba mặt bên với giá 200 đồng/cm². Tính chi phí giấy phủ, không tính mép dán. Yêu cầu: xác định đúng yếu tố cần dùng, tính $S_{xq}$, tính chi phí và giải thích vì sao không cộng diện tích đáy.

Lời giải: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\cdot24\cdot10=120$ cm². Chi phí: $120\cdot200=24000$ đồng. Không cộng diện tích đáy vì giấy chỉ phủ ba mặt bên, không phủ mặt đáy. Kết luận: chi phí giấy là 24000 đồng.