Giáo án Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Xác định vấn đề của bài học: hai tam giác vuông đồng dạng khi nào; huy động kiến thức về hai tam giác đồng dạng đã học.

GV vẽ lên bảng △ABC vuông tại A với AB=3, AC=4, BC=5 và △DEF vuông tại D với DE=6, DF=8, EF=10. HS làm việc theo cặp đôi trả lời ba câu hỏi:

• Câu 1: Hai tam giác này có đồng dạng không? Vì sao?
• Câu 2: Chỉ cần biết cả hai tam giác đều vuông thì đã đủ để kết luận đồng dạng chưa?
• Câu 3: Cần thêm điều kiện nào để kết luận chắc chắn hai tam giác vuông đồng dạng?

Dự kiến: $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$, nên hai tam giác đồng dạng với tỉ số $\dfrac{1}{2}$.
Câu 2: Chưa đủ, vì hai tam giác vuông luôn có chung một cặp góc bằng nhau (góc vuông) nhưng các cạnh có thể tỉ lệ hoặc không tỉ lệ.
Câu 3: Cần thêm một góc nhọn bằng nhau, hoặc một điều kiện về tỉ lệ cạnh.
Câu hỏi cần giải quyết: Có những trường hợp đồng dạng nào của hai tam giác vuông?

Phát hiện và giải thích dấu hiệu đồng dạng của hai tam giác vuông khi có một cặp góc nhọn bằng nhau (trường hợp góc – góc).

HS hoàn thành Phần A của Phiếu học tập số 1. Nhóm 4 HS vẽ △ABC vuông tại A có $\hat{B}=35^\circ$ và △DEF vuông tại D có $\hat{E}=35^\circ$, đo và tính các góc còn lại, ghép đỉnh A với D, B với E, C với F. Trả lời các câu hỏi:

• Góc $\hat{C}$ và góc $\hat{F}$ có bằng nhau không? Vì sao?
• Hai tam giác có đồng dạng không? Theo trường hợp nào?

Kết quả: $\hat{C}=\hat{F}=55^\circ$ vì trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau: $90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc (g.g) vì có hai cặp góc tương ứng bằng nhau: $\hat{A}=\hat{D}=90^\circ$ và $\hat{B}=\hat{E}=35^\circ$.
Kiến thức HS rút ra: Nếu △ABC và △DEF vuông (A = D = 90°) có $\hat{B}=\hat{E}$ thì $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, với A↔D, B↔E, C↔F.

Phát hiện và giải thích dấu hiệu đồng dạng của hai tam giác vuông khi hai cặp cạnh góc vuông tỉ lệ (trường hợp cạnh – góc – cạnh).

HS hoàn thành Phần B của Phiếu học tập số 1. Cho △ABC vuông tại A có AB=3, AC=4 và △DEF vuông tại D có DE=6, DF=8.

• Tính $\dfrac{AB}{DE}$ và $\dfrac{AC}{DF}$, so sánh hai tỉ số.
• Tính BC, EF bằng định lí Pythagore rồi kiểm tra $\dfrac{BC}{EF}$.
• Nêu điều kiện tổng quát để hai tam giác vuông đồng dạng.

Kết quả: $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$, hai tỉ số bằng nhau. BC=5, EF=10, $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{1}{2}$.
Kiến thức HS rút ra: Nếu hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đó đồng dạng. Góc vuông nằm giữa hai cạnh góc vuông nên đây là trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Phát hiện và giải thích dấu hiệu đồng dạng khi cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ; nhận biết lỗi khi ghép sai cạnh.

HS hoàn thành Phần C của Phiếu học tập số 1. Cho △ABC vuông tại A có AB=6, BC=10 và △DEF vuông tại D có DE=3, EF=5.

• (a) Tính $\dfrac{BC}{EF}$ và $\dfrac{AB}{DE}$, so sánh.
• (b) Thử ghép sai: tính $\dfrac{BC}{DE}$ và $\dfrac{AB}{EF}$, so sánh và nhận xét.
• (c) Rút ra cách ghép đúng cạnh khi kiểm tra điều kiện tỉ lệ.

(a) $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{10}{5}=2$, $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{6}{3}=2$, hai tỉ số bằng nhau nên $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
(b) $\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{10}{3}$, $\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{6}{5}$, không bằng nhau nên không kết luận được đồng dạng từ cách ghép này.
(c) Phải ghép cạnh huyền với cạnh huyền và cạnh góc vuông với cạnh góc vuông tương ứng.
Kiến thức HS rút ra: Nếu $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AB}{DE}$ thì $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Củng cố nhận biết ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông, tính cạnh chưa biết và phát hiện lỗi lập luận.

HS hoàn thành Phiếu học tập số 2 theo nhóm 4 (làm cá nhân trước, sau đó thống nhất trong nhóm). Các bài gồm:

• Bài 1: Tam giác vuông có một góc nhọn $35^\circ$. Tính góc nhọn còn lại.
• Bài 2: Hai tam giác vuông có cạnh góc vuông 6 và 8; cạnh góc vuông tương ứng của tam giác khác là 9 và 12. Tính tỉ số đồng dạng sau/trước.
• Bài 3: △ABC vuông tại A, △DEF vuông tại D, $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=2$, DE = 4. Tính AB.
• Bài 4: Hai tam giác vuông đồng dạng có tỉ số nhỏ/lớn là $\dfrac{1}{3}$, cạnh huyền của tam giác lớn là 30. Tính cạnh huyền của tam giác nhỏ. Một bạn trả lời 11. Bạn ấy đúng không?
• Bài 5: Phát hiện và sửa sai: “Mọi tam giác vuông đều đồng dạng vì cùng có góc $90^\circ$.”
  GV dùng phần bài tập tương tác trên NeoEdu để HS đối chiếu đáp án sau khi nhóm thống nhất.

Đáp án:

• Bài 1: $90^\circ-35^\circ=55^\circ$. Chọn D.
• Bài 2: $\dfrac{9}{6}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$. Tỉ số là $1{,}5$.
• Bài 3: $AB=2\cdot 4=8$. Đáp số AB = 8.
• Bài 4: Tỉ số lớn/nhỏ là $3$, cạnh huyền nhỏ bằng $\dfrac{30}{3}=10$. Bạn trả lời 11 là sai; đáp số đúng là 10.
• Bài 5: Sai. Một góc vuông bằng nhau chưa đủ; cần thêm một góc nhọn bằng nhau hoặc điều kiện tỉ lệ cạnh. Ví dụ: hai tam giác vuông 3–4–5 và 6–8–10 đồng dạng, nhưng tam giác vuông 3–4–5 và tam giác vuông cân không đồng dạng.
  Kiến thức HS củng cố: Phải kiểm tra đúng cặp cạnh tương ứng và có đủ một trong ba điều kiện đồng dạng.

Vận dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác vuông để tính chiều cao của một vật trong thực tế; mô hình hoá tình huống bằng tỉ lệ.

Tình huống: Vào buổi chiều nắng, một cọc thẳng đứng cao 1,5 m có bóng dài 2 m trên mặt đất; cùng lúc đó bóng của một cây dài 8 m. Hai tam giác vuông tạo bởi cọc với bóng của cọc và cây với bóng của cây có cùng góc nhọn tạo bởi tia nắng với mặt đất. Yêu cầu:

• Vẽ sơ đồ và chỉ ra hai tam giác vuông đồng dạng, ghi rõ theo trường hợp nào.
• Lập tỉ lệ và tính chiều cao h của cây.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách ghép đúng cạnh góc vuông tương ứng.
  Nhiệm vụ về nhà: nhóm đo bóng của một cột hoặc cây thật ở sân trường vào giờ ra chơi và tính chiều cao theo cùng cách.

Hai tam giác vuông: tam giác tạo bởi cọc, bóng cọc và tia nắng; tam giác tạo bởi cây, bóng cây và tia nắng. Hai tam giác có góc vuông và góc nhọn tạo bởi tia nắng bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Lập tỉ lệ: $\dfrac{h}{1{,}5}=\dfrac{8}{2}$, suy ra $h=1{,}5\cdot 4=6$.
Đáp số: chiều cao cây là 6 m. Kiến thức HS rút ra: ghép đúng cạnh góc vuông tương ứng (cao với cao, bóng với bóng) thì tỉ số không đổi.