Giáo án Bài 35. Định lí Pythagore và ứng dụng

Gợi mở mối liên hệ giữa bình phương các cạnh của một tam giác để HS xác định vấn đề cần học: tìm hệ thức giữa ba cạnh của tam giác vuông.

GV vẽ trên bảng tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm và đặt câu hỏi: (1) Tính $3^2+4^2$ và $5^2$. (2) Nhận xét về góc A của tam giác này. (3) Có quy luật nào giữa ba cạnh của một tam giác vuông không?

HS tính được $3^2+4^2=9+16=25$ và $5^2=25$, nên $3^2+4^2=5^2$. Từ đó HS dự đoán: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền có thể bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Câu hỏi nêu vấn đề cho cả lớp: quy luật này có đúng với mọi tam giác vuông không?

HS thực hành đo và tính trên các tam giác vuông cụ thể, từ đó khái quát và phát biểu định lí Pythagore: $c^2=a^2+b^2$.

Nhóm 4 HS vẽ trên giấy kẻ ô ba tam giác vuông: hai tam giác có hai cạnh góc vuông lần lượt là (3 cm; 4 cm) và (6 cm; 8 cm), và một tam giác tự chọn có hai cạnh góc vuông là số nguyên. Mỗi nhóm đo cạnh huyền bằng thước, ghi kết quả vào Phiếu học tập số 1, sau đó tính $a^2+b^2$ và so sánh với $c^2$. Nhiệm vụ: (1) Điền số liệu và tính toán vào phiếu. (2) Nhận xét quan hệ giữa $a^2+b^2$ và $c^2$ trong cả ba trường hợp. (3) Phát biểu quy luật bằng lời và bằng công thức. GV nhắc HS: cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất của tam giác vuông.

Kết quả dự kiến: tam giác (3; 4) có cạnh huyền 5, $3^2+4^2=25=5^2$; tam giác (6; 8) có cạnh huyền 10, $6^2+8^2=100=10^2$; với tam giác tự chọn, đo đúng sẽ cho $a^2+b^2=c^2$ (sai số đo ở mức chấp nhận được). Kiến thức HS rút ra: trong tam giác vuông có cạnh huyền c và hai cạnh góc vuông a, b thì $c^2=a^2+b^2$, tức là bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Hệ quả để tính: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ và $a=\sqrt{c^2-b^2}$.

HS phát biểu định lí đảo và dùng nó để kiểm tra một tam giác có vuông hay không khi biết ba cạnh; phát hiện và sửa lỗi suy luận từ bất đẳng thức tam giác.

Mỗi nhóm nhận bốn bộ ba độ dài: (6; 8; 10), (8; 15; 17), (6; 8; 9), (5; 6; 7). Với mỗi bộ, nhóm xác định cạnh lớn nhất, tính bình phương cạnh lớn nhất và tổng bình phương hai cạnh còn lại, rồi kết luận tam giác có vuông hay không. Sau đó, nhóm trả lời câu hỏi: 'Bạn An cho rằng tam giác có cạnh 5, 6, 7 là tam giác vuông vì $5+6>7$. Em có đồng ý không? Vì sao?' Ghi kết quả vào Phiếu học tập số 2.

Kết quả dự kiến: (6; 8; 10): $10^2=100=6^2+8^2$, tam giác vuông; (8; 15; 17): $17^2=289=8^2+15^2$, tam giác vuông; (6; 8; 9): $9^2=81\neq 100=6^2+8^2$, không vuông; (5; 6; 7): $7^2=49\neq 61=5^2+6^2$, không vuông. Kiến thức HS rút ra: đảo lại, nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó vuông. Lỗi của bạn An: bất đẳng thức $5+6>7$ chỉ đảm bảo ba đoạn thẳng lập thành tam giác, không đảm bảo tam giác vuông; $5^2+6^2=61\neq 49$ nên không vuông.

HS vận dụng định lí Pythagore để tính cạnh huyền hoặc cạnh góc vuông, trình bày đúng các bước và kiểm tra kết quả.

HS làm việc theo cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 3 phần A gồm ba câu: (1) Hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, tính cạnh huyền và chọn đáp án đúng trong các lựa chọn A. 4; B. 5; C. 7; D. 6. (2) Cạnh huyền 13 cm, một cạnh góc vuông 5 cm, tính cạnh góc vuông còn lại. (3) Hình chữ nhật có cạnh 6 cm và 8 cm, tính đường chéo. Sau đó HS đổi vở kiểm tra chéo và báo cáo.

Đáp án: (1) $c^2=3^2+4^2=9+16=25$, $c=5$, chọn B. (2) $b^2=13^2-5^2=169-25=144$, $b=12$ (cm). (3) Đường chéo $d^2=6^2+8^2=36+64=100$, $d=10$ (cm). Kiến thức HS rút ra: khi tính cạnh huyền thì cộng bình phương hai cạnh góc vuông; khi tính cạnh góc vuông thì lấy bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông đã biết; kết quả phải là số dương và nhỏ hơn cạnh huyền.

HS áp dụng định lí Pythagore và định lí đảo để giải các bài có lập luận: thang tựa tường, tam giác có ba cạnh cho trước và đường đi theo hai hướng vuông góc; biết kiểm tra điều kiện trước khi dùng công thức.

HS làm Phiếu học tập số 3 phần B gồm ba câu: (1) Thang dài 10 m tựa vào tường vuông góc với mặt đất nằm ngang, chân thang cách tường 6 m. Đầu thang cao bao nhiêu mét? Một bạn trả lời 9 m; bạn ấy đúng không? (2) Tam giác có ba cạnh 8 cm, 15 cm, 17 cm; góc đối diện cạnh 17 cm bằng bao nhiêu độ? (3) Một người đi 12 m về hướng đông rồi 5 m về hướng bắc. Khoảng cách thẳng từ điểm xuất phát đến điểm đến là bao nhiêu mét? Lưu ý: giả sử mặt đất phẳng, tường vuông góc mặt đất, không tính độ dày thang.

Đáp án: (1) Bạn trả lời 9 m là sai. Tường vuông góc đất nên tam giác tạo bởi tường, mặt đất và thang là tam giác vuông, với thang là cạnh huyền: $h^2=10^2-6^2=100-36=64$, $h=8$ (m). (2) $8^2+15^2=64+225=289=17^2$ nên tam giác vuông, góc đối diện cạnh 17 cm là $90^\circ$. (3) Hai hướng đông và bắc vuông góc nhau nên $d=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ (m). Kiến thức HS rút ra: cần xác định đúng cạnh huyền trong từng bài; kiểm tra điều kiện tam giác vuông trước khi áp dụng định lí.

HS mô hình hoá tình huống thực tế về mảnh đất hình chữ nhật thành tam giác vuông, dùng định lí Pythagore để tính đường chéo và so sánh quãng đường khi đi theo cạnh với đi theo đường chéo.

Bài toán: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 16 m và chiều rộng 12 m. Một người muốn đi từ một góc đến góc đối diện. Tính: (1) độ dài đường chéo mảnh đất; (2) quãng đường nếu đi theo hai cạnh; (3) người đi theo đường chéo tiết kiệm được bao nhiêu mét. Mỗi nhóm trình bày lời giải đầy đủ, ghi rõ bước xác định tam giác vuông, công thức và kiểm tra kết quả (đường chéo phải lớn hơn mỗi cạnh nhưng nhỏ hơn tổng hai cạnh). Sau đó GV giao bài về nhà để HS thực hành đo đạc.

Lời giải dự kiến: Đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 12 m và 16 m: $d^2=12^2+16^2=144+256=400$, $d=20$ (m). Quãng đường đi theo hai cạnh: $12+16=28$ (m). Tiết kiệm: $28-20=8$ (m). Kiểm tra: $12<20<28$, kết quả hợp lí. Kiến thức HS rút ra: mô hình hoá đường chéo hình chữ nhật thành cạnh huyền của tam giác vuông; đường đi theo đường chéo luôn ngắn hơn đường đi theo hai cạnh.