Giáo án Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Huy động kiến thức về tỉ số; nhận ra rằng có thể kết luận hai tam giác đồng dạng mà không cần đo hết các góc.

GV chiếu đề: Tam giác ABC có $AB=4$ cm, $BC=5$ cm, $CA=6$ cm; tam giác DEF có $DE=6$ cm, $EF=7{,}5$ cm, $FD=9$ cm, với $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. HS tính ba tỉ số $\dfrac{AB}{DE}$, $\dfrac{BC}{EF}$, $\dfrac{CA}{FD}$. Sau đó trả lời: Ba tỉ số này có bằng nhau không? Nếu có, em nghĩ hai tam giác có quan hệ gì? Muốn kết luận nhanh, cần kiểm tra những gì?

Ba tỉ số đều bằng $\dfrac{2}{3}$: $\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{7{,}5}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$. Dự kiến HS nêu được: các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau theo tỉ số $\dfrac{2}{3}$ nên có thể kết luận hai tam giác đồng dạng mà không cần đo góc. Đây là nội dung mở đầu cho trường hợp c.c.c.

Nêu được và giải thích được trường hợp c.c.c; biết sắp cạnh theo thứ tự ngắn, vừa, dài rồi kiểm tra cả ba tỉ số.

Nhóm 4 HS thực hiện Phiếu học tập số 1, phần A. Tam giác ABC có $AB=BC=3$ cm, $AC=4$ cm; tam giác DEF có $DE=EF=4{,}5$ cm, $DF=6$ cm, với $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. Các nhiệm vụ: (1) Tính $\dfrac{AB}{DE}$, $\dfrac{BC}{EF}$, $\dfrac{AC}{DF}$. (2) Sắp các cạnh mỗi tam giác theo thứ tự ngắn, vừa, dài rồi so sánh từng cặp. (3) Phát biểu trường hợp c.c.c. (4) Thử với một bộ ba cạnh không tỉ lệ để thấy điều kiện là cần thiết.

Các tỉ số: $\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Kiến thức HS rút ra: Nếu ba cặp cạnh tương ứng của hai tam giác tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng (c.c.c). Kí hiệu: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Khi viết kết luận phải giữ đúng thứ tự đỉnh tương ứng $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.

Nêu được và giải thích được trường hợp c.g.c; nhận biết điều kiện góc nằm giữa hai cạnh tỉ lệ.

Nhóm thực hiện Phiếu học tập số 1, phần B. Tam giác ABC có $AB=4$ cm, $AC=6$ cm, $\widehat{A}=60^\circ$; tam giác DEF có $DE=6$ cm, $DF=9$ cm, $\widehat{D}=60^\circ$. Các nhiệm vụ: (1) Tính $\dfrac{AB}{DE}$ và $\dfrac{AC}{DF}$. (2) Nhận xét góc $60^\circ$ ở mỗi tam giác nằm giữa hai cạnh nào. (3) Phát biểu trường hợp c.g.c. (4) Thảo luận: Nếu góc đã cho không nằm giữa hai cạnh tỉ lệ thì có đủ kết luận đồng dạng không?

$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$; $\widehat{A}=\widehat{D}=60^\circ$ và đây là góc xen giữa hai cạnh tỉ lệ. Kiến thức HS rút ra: Nếu hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và hai góc xen giữa chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng (c.g.c). Điều kiện then chốt: góc phải nằm giữa hai cạnh đã xét. Góc không xen giữa không đủ để kết luận đồng dạng nói chung.

Nêu được trường hợp g.g; giải thích được vì sao chỉ cần hai cặp góc bằng nhau là đủ đồng dạng.

Nhóm thực hiện Phiếu học tập số 1, phần C. Tam giác ABC có $\widehat{A}=40^\circ$, $\widehat{B}=70^\circ$; tam giác DEF có $\widehat{D}=40^\circ$, $\widehat{E}=70^\circ$, với $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. Các nhiệm vụ: (1) Tính $\widehat{C}$ và $\widehat{F}$. (2) So sánh các cặp góc tương ứng. (3) Giải thích vì sao không cần biết độ dài cạnh vẫn kết luận được đồng dạng. (4) Phát biểu trường hợp g.g.

$\widehat{C}=180^\circ-40^\circ-70^\circ=70^\circ$; $\widehat{F}=180^\circ-40^\circ-70^\circ=70^\circ$, nên $\widehat{C}=\widehat{F}$. Kiến thức HS rút ra: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng (g.g). Lí do: tổng ba góc mỗi tam giác bằng $180^\circ$, nên cặp góc thứ ba cũng bằng nhau.

Xác định được trường hợp đồng dạng phù hợp với dữ kiện đề bài và tính nhanh tỉ số, góc hoặc cạnh.

HS làm việc cá nhân 4 phút, sau đó đối chiếu theo cặp đôi, rồi cả nhóm kiểm tra lại trên trang NeoEdu. Các câu hỏi được ghi trong Phiếu học tập số 2: (a) Tam giác có các cạnh 3, 4, 5 và tam giác có các cạnh 6, 8, 10. Tỉ số lớn/nhỏ là bao nhiêu? A. 2; B. 4; C. 3; D. 1. (b) Tam giác ABC có $\widehat{A}=40^\circ$, $\widehat{B}=70^\circ$; tam giác DEF có $\widehat{D}=40^\circ$, $\widehat{E}=70^\circ$, với $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$. Tính $\widehat{C}$. (c) Hai cạnh kề góc $60^\circ$ của một tam giác là 4 và 6; của tam giác kia là 6 và 9. Tỉ số thứ hai/thứ nhất là bao nhiêu?

(a) Đáp án A: $\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{4}=\dfrac{10}{5}=2$, hai tam giác đồng dạng theo c.c.c với tỉ số 2. (b) $\widehat{C}=180^\circ-40^\circ-70^\circ=70^\circ$, hai tam giác đồng dạng theo g.g. (c) $\dfrac{6}{4}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$; góc $60^\circ$ là góc xen giữa hai cạnh, nên đồng dạng theo c.g.c; tỉ số là $1{,}5$.

Vận dụng ba trường hợp đồng dạng để kiểm tra mô hình khung mái có đồng dạng với khung thật và tính kích thước mô hình theo tỉ lệ cho trước.

Nhóm thực hiện Phiếu học tập số 3. Khung mái thật là tam giác QRS với $QR=600$ cm, $RS=900$ cm, $SQ=1\,200$ cm. Mô hình thu nhỏ là tam giác MNP với $MN=30$ cm, $NP=45$ cm, $PM=60$ cm, với $M\leftrightarrow Q$, $N\leftrightarrow R$, $P\leftrightarrow S$. Các nhiệm vụ: (1) Kiểm tra mô hình có đồng dạng với khung thật không, nêu trường hợp đồng dạng đã dùng. (2) Tính tỉ số đồng dạng từ đoạn $MN$ và $QR$. (3) Nhóm thợ muốn làm mô hình mới theo tỉ lệ $1:50$ (1 cm trên mô hình ứng với 50 cm ngoài thực tế). Tính ba cạnh của mô hình mới. (4) Viết kết luận đồng dạng theo đúng thứ tự đỉnh.

(1) $\dfrac{MN}{QR}=\dfrac{30}{600}=\dfrac{1}{20}$, $\dfrac{NP}{RS}=\dfrac{45}{900}=\dfrac{1}{20}$, $\dfrac{PM}{SQ}=\dfrac{60}{1\,200}=\dfrac{1}{20}$; ba tỉ số bằng nhau nên $\triangle MNP \sim \triangle QRS$ theo c.c.c. (2) Tỉ số đồng dạng từ khung thật về mô hình là $20$ (khung thật gấp $20$ lần mô hình). (3) Mô hình mới: $\dfrac{600}{50}=12$ cm, $\dfrac{900}{50}=18$ cm, $\dfrac{1\,200}{50}=24$ cm. (4) Kết luận: $\triangle MNP \sim \triangle QRS$. Kiến thức vận dụng: Khi các cạnh tương ứng của hai tam giác tỉ lệ (c.c.c), có thể dùng tỉ số đó để tính kích thước của hình khi phóng to hoặc thu nhỏ.