Giáo án Bài 29. Hệ số góc của đường thẳng

Huy động kiến thức về hàm số bậc nhất và đồ thị đường thẳng; tạo tình huống xuất phát để HS nhận ra $a$ phản ánh sự tăng, giảm của $y$ khi $x$ tăng.

GV chiếu đồ thị $y=2x-1$ trên học liệu NeoEdu và yêu cầu HS đọc các điểm $(0;-1)$, $(1;1)$, $(2;3)$ trên đồ thị. HS điền nhanh vào vở bảng sau: khi $x$ tăng từ 0 lên 1 thì $y$ tăng bao nhiêu; khi $x$ tăng từ 1 lên 2 thì $y$ tăng bao nhiêu. Câu hỏi gợi mở: “Số $2$ trong $y=2x-1$ có vai trò gì với hình dạng đường thẳng?”

HS nhận ra: khi $x$ tăng 1 đơn vị thì $y$ tăng đúng 2 đơn vị, ở mọi cặp điểm liên tiếp. Đường thẳng đi lên từ trái sang phải. Từ đó HS đặt câu hỏi: “Có phải hệ số 2 quyết định độ tăng của $y$ không?” làm động lực cho bài học.

Nêu được hệ số góc $a$ của $y=ax+b$ và giải thích được vì sao $a>0$ thì đường đi lên, $a<0$ thì đường đi xuống.

Nhóm/cặp đôi thực hiện Phiếu học tập số 1: (1) Lập bảng giá trị của $y=2x-1$ với $x=0;1;2$ và ghi $y$ tương ứng. (2) Tính độ tăng của $y$ khi $x$ tăng 1 đơn vị. (3) Lập bảng giá trị của $y=-2x+1$ với $x=0;1;2$, nhận xét $y$ thay đổi thế nào khi $x$ tăng. (4) Trả lời: Số $a$ trong $y=ax+b$ được gọi là gì? Dấu của $a$ cho biết điều gì về hướng đường thẳng?

Bảng giá trị $y=2x-1$: $x=0$ thì $y=-1$; $x=1$ thì $y=1$; $x=2$ thì $y=3$. Khi $x$ tăng 1 thì $y$ tăng 2, đúng bằng $a=2$.
Bảng giá trị $y=-2x+1$: $x=0$ thì $y=1$; $x=1$ thì $y=-1$; $x=2$ thì $y=-3$. Khi $x$ tăng 1 thì $y$ giảm 2.
Kết luận HS rút ra: Hệ số $a$ trong $y=ax+b$ gọi là hệ số góc. Nếu $a>0$ đường thẳng đi lên từ trái sang phải; nếu $a<0$ đường thẳng đi xuống. Hệ số góc cho biết khi $x$ tăng 1 đơn vị thì $y$ tăng (hoặc giảm) bao nhiêu đơn vị.

Tính được hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước theo công thức $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ và kiểm tra điều kiện $x_1\neq x_2$; nhận biết được đường đứng không viết được dạng $y=ax+b$.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2, phần (1) và (2): (1) Đường thẳng đi qua $(1;3)$ và $(3;7)$, hãy tính hệ số góc $a$. (2) Thử tính cho hai điểm $(2;1)$ và $(2;5)$, có tính được $a$ không? Vì sao? Câu hỏi GV đặt ra: “Vì sao ta không lấy $\dfrac{y}{x}$ để tìm $a$ với mọi đường thẳng?”

Với $(1;3)$ và $(3;7)$: $a=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$.
Với $(2;1)$ và $(2;5)$: $x_1=x_2=2$ nên mẫu bằng 0, không tính được $a$; đây là đường đứng $x=2$, không viết được dạng $y=ax+b$.
Kết luận HS rút ra: Từ hai điểm $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$ với $x_1\neq x_2$, hệ số góc là $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Không dùng $\dfrac{y}{x}$ trừ khi đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Giải thích được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau hoặc cắt nhau dựa vào hệ số góc và tung độ gốc.

Phiếu học tập số 2, phần (3) và (4): (3) Xét $y=3x+1$ và $y=3x-4$: hai đường có cùng hệ số góc không? Có giao điểm không? (4) Xét $y=x+2$ và $y=-x+6$: tìm hoành độ giao điểm bằng cách giải $x+2=-x+6$. Câu hỏi GV: “Hai đường có hệ số góc bằng nhau luôn song song hay có thể trùng nhau?”

(3) Cùng $a=3$, $b=1\neq b'=-4$ nên hai đường song song, không có giao điểm.
(4) $x+2=-x+6$, $2x=4$, $x=2$; thay vào được $y=4$. Giao điểm $(2;4)$; vì $a=1\neq a'=-1$ nên hai đường cắt nhau.
Kết luận HS rút ra: Hai đường $y=ax+b$ và $y=a'x+b'$ song song khi $a=a'$, $b\neq b'$; trùng nhau khi $a=a'$, $b=b'$; cắt nhau khi $a\neq a'$.

Củng cố xác định hệ số góc, tính hệ số góc qua hai điểm, tìm tham số $m$, tìm $b$ và xét giao điểm của hai đường thẳng.

HS làm việc theo cặp đôi, lần lượt giải các bài sau và kiểm tra chéo kết quả với bạn:

1. Hệ số góc của $y=-4x+3$ là: A. $-3$; B. $-5$; C. $-4$; D. $-2$.
2. Đường thẳng đi qua $(1;3)$ và $(3;7)$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?
3. Đường thẳng $y=(m+1)x-2$ song song với $y=5x+7$. Tìm $m$.
4. Đường thẳng $y=2x+b$ đi qua $(1;5)$. Tìm $b$. Một bạn trả lời $b=4$. Bạn ấy đúng không?
5. Hai đường $y=3x+1$ và $y=3x-4$ có mấy giao điểm?
6. Hai đường $y=x+2$ và $y=-x+6$ cắt nhau tại $x=?$

1. C ($a=-4$, hệ số của $x$).
2. $a=\dfrac{7-3}{3-1}=2$.
3. $m+1=5$ nên $m=4$; tung độ gốc $-2\neq 7$ nên song song.
4. Sai. Thay $(1;5)$: $5=2\cdot 1+b$ nên $b=3$.
5. 0 giao điểm (song song, vì cùng $a=3$, $b\neq b'$).
6. $x+2=-x+6$, $2x=4$, $x=2$.

Phát hiện được quan niệm sai “hai đường có hệ số góc bằng nhau luôn song song” và giải bài toán tìm $m$ kèm điều kiện không trùng nhau.

Phiếu học tập số 2, phần (5) và (6): (5) Một bạn kết luận: “Hai đường có hệ số góc bằng nhau luôn song song.” Em hãy nhận xét và cho một phản ví dụ. (6) Tìm $m$ để $y=(2m-1)x+3$ song song với $y=5x-2$, và giải thích vì sao hai đường không trùng nhau.

(5) Kết luận sai. Phản ví dụ: $y=2x+1$ và $y=2x+1$ có cùng $a=2$ và cùng $b=1$ nên trùng nhau, không phải song song. Sửa lại: cùng hệ số góc và $b\neq b'$ thì song song.
(6) $2m-1=5$ nên $m=3$. Khi đó $y=5x+3$, tung độ gốc $3\neq -2$ nên hai đường song song và không trùng nhau.

Vận dụng hệ số góc để mô hình hoá quãng đường theo thời gian của chuyển động đều và giải thích ý nghĩa thực tế của $a$.

Bạn An đi xe đạp đều trên một con đường. Sau 1 giờ, An đi được 12 km; sau 3 giờ, An đi được 36 km. Gọi $s$ (km) là quãng đường, $t$ (giờ) là thời gian, hãy viết công thức $s=at+b$, tìm $a$, $b$ và giải thích ý nghĩa của $a$. Câu hỏi GV đặt ra: “Nếu An đi thêm 2 giờ nữa với cùng tốc độ thì tổng quãng đường là bao nhiêu?”

Điểm $(1;12)$ và $(3;36)$: $a=\dfrac{36-12}{3-1}=12$. Thay $(1;12)$: $12=12\cdot 1+b$ nên $b=0$. Công thức: $s=12t$.
Ý nghĩa: $a=12$ là vận tốc của An, đơn vị km/h; khi thời gian tăng 1 giờ thì quãng đường tăng 12 km.
Đi thêm 2 giờ, quãng đường từ mốc $t=3$ tăng $12\cdot 2=24$ km, tổng $36+24=60$ km (hoặc $s=12\cdot 5=60$ km).