Giáo án Bài 28. Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

Huy động kiến thức về thay số vào biểu thức, phát hiện quy luật y tăng khi x tăng và dẫn dắt HS đến hàm số bậc nhất.

GV viết lên bảng hàm số $y=2x-1$ và yêu cầu HS điền vào bảng giá trị với $x=0$, $x=1$, $x=2$, $x=3$. Sau đó HS trả lời câu hỏi: Khi $x$ tăng thêm 1 đơn vị thì $y$ tăng hay giảm bao nhiêu? Quy luật này có đúng với mọi cặp giá trị liên tiếp hay không?

Bảng giá trị: $x=0$ thì $y=-1$; $x=1$ thì $y=1$; $x=2$ thì $y=3$; $x=3$ thì $y=5$. HS nhận xét: khi $x$ tăng 1 thì $y$ tăng 2 và quy luật này đúng với mọi cặp giá trị liên tiếp. Từ đó HS nêu được dạng chung của hàm số có hệ số $x$ và hằng số tự do: $y=ax+b$.

Nêu được định nghĩa hàm số bậc nhất $y=ax+b$ với $a\neq 0$, xác định được hệ số $a$, $b$ và giải thích được điều kiện $a\neq 0$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần A. Nhóm xét các hàm số: $y=3x+2$; $y=-2x+5$; $y=(m-2)x+3$ với $m$ là hằng số; $y=5$; $y=-x$. Với mỗi hàm số, nhóm xác định xem có phải hàm số bậc nhất không, chỉ ra hệ số $a$, $b$ và giải thích vì sao. Sau đó nhóm phát biểu định nghĩa hàm số bậc nhất bằng lời của mình.

Kiến thức HS rút ra: Hàm số $y=ax+b$ với $a$, $b$ là các số cho trước và $a\neq 0$ được gọi là hàm số bậc nhất. Hệ số $a$ là hệ số của $x$, $b$ là hệ số tự do. Ví dụ: $y=3x+2$ có $a=3$, $b=2$; $y=-2x+5$ có $a=-2$, $b=5$ là hàm số bậc nhất. Hàm số $y=5$ không có dạng $ax+b$ với $a\neq 0$ nên không phải hàm số bậc nhất; $y=-x$ là hàm số bậc nhất với $a=-1$, $b=0$. Với $y=(m-2)x+3$, hàm số là bậc nhất khi và chỉ khi $m-2\neq 0$, tức là $m\neq 2$.

Vẽ được đồ thị hàm số bậc nhất bằng cách chọn hai điểm, nhận biết đồ thị là đường thẳng cắt trục tung tại $(0;b)$ và kiểm tra điểm thứ ba để đảm bảo kết quả đúng.

Bước 1: GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị hàm số $y=2x-1$. Chọn $x=0$ thì $y=-1$, ta có điểm $(0;-1)$; chọn $x=1$ thì $y=1$, ta có điểm $(1;1)$. Nối hai điểm để có đường thẳng. Kiểm tra bằng điểm thứ ba: $x=2$ thì $y=3$, điểm $(2;3)$ nằm trên đường thẳng. Bước 2: Theo cặp đôi, HS vẽ đồ thị hàm số $y=-x+4$ trên giấy kẻ ô vuông, chọn $x=0$, $x=4$ và kiểm tra bằng điểm $x=7$ (Phiếu học tập số 1, phần B). Bước 3: Nhóm nhận xét đường thẳng cắt trục tung và trục hoành tại đâu.

Đồ thị $y=2x-1$ là đường thẳng đi qua $(0;-1)$, $(1;1)$, $(2;3)$; đường thẳng cắt trục tung tại $(0;-1)$, tức là $(0;b)$ với $b=-1$. Đồ thị $y=-x+4$ là đường thẳng đi qua $(0;4)$ và $(4;0)$; điểm $(7;-3)$ thuộc đồ thị vì $-7+4=-3$. Kiến thức HS rút ra: Đồ thị hàm số $y=ax+b$ ($a\neq 0$) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm $(0;b)$. Để vẽ đồ thị, chọn hai giá trị $x$ khác nhau, tính hai giá trị $y$ tương ứng, được hai điểm phân biệt, nối hai điểm đó. Nên chọn giá trị làm cho tọa độ nguyên và kiểm tra thêm một điểm. Khi $x$ tăng 1 thì $y$ tăng $a$ đơn vị.

Củng cố nhận biết hệ số $a$, $b$, tìm giao điểm với trục tung, trục hoành và xác định tham số để hàm số là bậc nhất.

HS làm bài tập trắc nghiệm và tự luận ngắn: (1) Cho $y=3x+2$, hệ số $b$ bằng bao nhiêu? A. 2; B. 4; C. 3; D. 1. (2) Cho $y=-2x+5$, tung độ giao điểm với trục Oy là bao nhiêu? (3) Cho $y=2x-6$, hoành độ giao điểm với trục Ox là bao nhiêu? (4) Cho $y=ax+1$ đi qua điểm $(2;7)$, tìm $a$. (5) Cho $y=(m-2)x+3$ là hàm số bậc nhất, giá trị $m$ nào bị loại?

Đáp án: (1) A, vì trong $ax+b$ thì $b=2$. (2) $5$, vì khi $x=0$ thì $y=5$. (3) $3$, vì $2x-6=0$ suy ra $x=3$. (4) $a=3$, vì $7=2a+1$ suy ra $a=3$. (5) $m=2$ bị loại, vì cần $m-2\neq 0$.

Kiểm tra điều kiện của kết quả, phát hiện quan niệm sai về số điểm cần thiết để vẽ đường thẳng và trình bày lập luận sửa sai.

Theo cặp đôi, HS làm Phiếu học tập số 1, phần C. (1) Bạn An cho rằng với $y=-x+4$, khi $x=7$ thì $y=-2$. Hỏi bạn An đúng hay sai? (2) Bạn Bình khẳng định: Chỉ cần một điểm là đủ để vẽ duy nhất một đường thẳng. Hãy xác định đúng sai và giải thích.

(1) Sai. Với $x=7$ thì $y=-7+4=-3$, không phải $-2$. Sửa: Thay đúng $x=7$ vào hàm số, được $y=-3$. (2) Sai. Qua một điểm có vô số đường thẳng; cần hai điểm phân biệt hoặc thêm thông tin như hệ số $a$ để xác định duy nhất đường thẳng. Kết luận: Hai điểm phân biệt xác định một đường thẳng duy nhất, cho nên để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất cần ít nhất hai điểm phân biệt.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng hàm số bậc nhất, xác định miền giá trị của biến và chọn hai điểm để vẽ đồ thị.

Một dịch vụ thu phí cố định 20 nghìn đồng và 5 nghìn đồng cho mỗi km. Gọi $x$ là số km, $y$ là chi phí (nghìn đồng). HS thực hiện Phiếu học tập số 2: (a) Viết hàm số biểu thị chi phí $y$ theo $x$. (b) Xác định hai điểm để vẽ đồ thị với $0\le x\le 10$. (c) Nêu ý nghĩa của hệ số 5 và số 20. Phần vẽ đồ thị giao về nhà nếu thiếu thời gian.

(a) $y=5x+20$ (nghìn đồng), với $x$ là số km. (b) Hai điểm $(0;20)$ và $(10;70)$; đồ thị là đoạn thẳng nối hai điểm này, nằm trong miền $0\le x\le 10$. (c) Hệ số $5$ là giá tiền mỗi km; số $20$ là phí cố định ban đầu (khi $x=0$). Kiểm tra: với $x=10$ thì $y=5\cdot 10+20=70$.