Giáo án Bài 26. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Huy động kiến thức đã có về biểu diễn bằng biểu thức và giải phương trình bậc nhất; giúp HS nhận ra cách đặt ẩn cho một số chưa biết để dẫn dắt vào bài.

GV đưa ra tình huống: Bạn Lan nghĩ một số. Lấy số đó nhân 3 rồi cộng 10 thì được 34. Hỏi số Lan nghĩ là bao nhiêu?
HS suy nghĩ cá nhân, thử đáp án, sau đó được hướng dẫn gọi số Lan nghĩ là $x$ để viết điều kiện bài toán thành một phương trình.
Câu hỏi GV đặt ra: (1) Số Lan nghĩ chưa biết, ta có thể gọi nó là gì? (2) Điều kiện 'nhân 3 rồi cộng 10 được 34' viết thành biểu thức như thế nào? (3) Làm sao tìm được $x$ từ biểu thức đó?

HS viết được phương trình $3x+10=34$, giải được $3x=24$, $x=8$ và kết luận số Lan nghĩ là 8. HS nhận ra: chọn ẩn là bước đầu, từ quan hệ đề bài lập phương trình rồi giải, đó chính là cách giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Hình thành cho HS quy trình 4 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình; hiểu vai trò của việc đặt điều kiện cho ẩn, biểu diễn các đại lượng và đối chiếu điều kiện khi kết luận.

HS hoạt động theo nhóm 4, làm Phiếu học tập số 1 với bài toán: Mua 3 quyển vở và 1 cây bút giá 10 nghìn đồng hết tổng cộng 34 nghìn đồng. Hỏi giá một quyển vở là bao nhiêu nghìn đồng?
Nhiệm vụ: (1) Chọn ẩn, nêu rõ đơn vị và điều kiện của ẩn. (2) Biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn. (3) Lập phương trình từ quan hệ tổng tiền. (4) Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao giá vở phải dương? Vì sao cần ghi đơn vị 'nghìn đồng' trong kết luận? Nếu giải ra nghiệm âm thì ta làm gì?

Kết quả cần đạt: Gọi giá một quyển vở là $x$ (nghìn đồng), điều kiện $x>0$. Tiền 3 quyển vở là $3x$, tiền bút là 10. Phương trình $3x+10=34$, suy ra $3x=24$, $x=8$ (thỏa mãn $x>0$). Kết luận: giá một quyển vở là 8 nghìn đồng.
Kiến thức HS rút ra: (a) Chọn ẩn kèm đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn; (b) biểu diễn các đại lượng theo ẩn; (c) lập phương trình từ quan hệ đề bài; (d) giải, đối chiếu điều kiện và kết luận. Đơn vị phải thống nhất trong suốt bài giải.

Hình thành cho HS cách biểu diễn đại lượng và lập phương trình trong bốn dạng toán: chuyển động, năng suất, phần trăm, tuổi; biết vận dụng các công thức $s=vt$, công việc $=$ năng suất $\cdot$ thời gian, mới $=$ cũ $\cdot(1\pm$ tỉ lệ$)$ và quy tắc tuổi.

HS làm việc theo nhóm 4 theo kĩ thuật mảnh ghép: mỗi nhóm nhận một trong bốn dạng, ghi kết quả vào Phiếu học tập số 2. Sau đó, các nhóm chuyển thành nhóm chuyên gia để chia sẻ.
Dạng 1 (chuyển động): Xe đi 3 giờ được 135 km, tìm vận tốc. Gọi vận tốc là $v$ (km/h), ta có $3v=135$, $v=45$.
Dạng 2 (năng suất): Một tổ hoàn thành công việc trong $x$ ngày với năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày, tổng 300 sản phẩm; lập phương trình $20x=300$.
Dạng 3 (phần trăm): Một món hàng giảm giá 20% còn 160 nghìn đồng; gọi giá gốc là $x$, ta có $(1-0{,}2)x=160$, tức $0{,}8x=160$, $x=200$.
Dạng 4 (tuổi): Mẹ hơn con 28 tuổi, tổng số tuổi hai mẹ con là 48; gọi tuổi con là $x$, ta có $x+(x+28)=48$, $x=10$. Lưu ý: sau cùng một khoảng thời gian, mỗi người đều tăng thêm số năm như nhau nên hiệu số tuổi không đổi.
Câu hỏi GV đặt ra: Trong dạng chuyển động, đơn vị của $v$ và $s$, $t$ phải như thế nào? Trong dạng phần trăm, vì sao giá sau khi giảm là $(1-0{,}2)x$? Trong dạng tuổi, vì sao không được lập phương trình $x+28=48$?

Kết quả cần đạt: (1) Chuyển động: $3v=135$, $v=45$ km/h, thỏa điều kiện $v>0$. (2) Năng suất: $20x=300$, $x=15$ ngày. (3) Phần trăm: $0{,}8x=160$, $x=200$ nghìn đồng. (4) Tuổi: $x+(x+28)=48$, $2x=20$, $x=10$ tuổi; mẹ 38 tuổi, kiểm tra hiệu $38-10=28$ đúng.
Kiến thức HS rút ra: Mỗi dạng có một công thức hoặc quan hệ đặc trưng; khi lập phương trình cần viết đúng biểu thức của cả tổng hoặc hiệu theo đề, không bỏ qua dữ kiện 'hơn', 'giảm', 'mỗi ngày'. Với bài tuổi, hiệu số tuổi luôn không đổi.

Củng cố quy trình giải và đối chiếu điều kiện; rèn cho HS khả năng phát hiện và sửa lỗi trong lời giải, đặc biệt là lỗi về nghiệm không nguyên, nghiệm không thỏa điều kiện và lập sai phương trình bài tuổi.

Nhóm thực hiện các bài sau (đề và đáp án ghi trong phần sản phẩm):
Bài 1: Hai số hơn kém nhau 6, tổng bằng 30. Số nhỏ là: A. 13; B. 11; C. 12; D. 14.
Bài 2: Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4 m, chu vi 40 m. Tìm chiều rộng.
Bài 3: Bạn An được hỏi về tuổi của con: Mẹ hơn con 28 tuổi, tổng số tuổi hai mẹ con là 48. Một bạn trả lời con 11 tuổi. Bạn ấy có đúng không? Vì sao?
Bài 4: Phát hiện và sửa sai: Một bạn giải bài toán 'tìm số học sinh' và nhận được nghiệm $x=12{,}5$ thì làm tròn thành 13. Hãy chỉ ra lỗi sai và sửa lại.
Câu hỏi GV đặt ra: Trong bài 4, vì sao không thể làm tròn số học sinh? Nghiệm không thỏa điều kiện cho thấy điều gì về bài toán?

Đáp án và lời giải:
Bài 1: Gọi số nhỏ là $x$, số lớn là $x+6$. Ta có $x+(x+6)=30$, $2x=24$, $x=12$. Đáp án C.
Bài 2: Gọi chiều rộng là $x$ (m), $x>0$; chiều dài là $x+4$. Ta có $2[x+(x+4)]=40$, $4x=32$, $x=8$. Kết luận: chiều rộng 8 m.
Bài 3: Gọi tuổi con là $x$, tuổi mẹ là $x+28$. Ta có $x+(x+28)=48$, $2x=20$, $x=10$. Bạn trả lời 11 là sai; con 10 tuổi.
Bài 4: Lỗi sai là làm tròn nghiệm không nguyên của bài toán đếm số học sinh. Số học sinh phải là số nguyên dương, nên không được làm tròn tùy tiện. Cách sửa: kiểm tra lại cách lập phương trình và dữ kiện; nghiệm $x=12{,}5$ không thỏa điều kiện nên phải xem lại đề bài. Thang chấm gợi ý: xác định đúng vấn đề (0,25); lập luận hoặc tính toán đúng (0,5); kết luận rõ và đúng điều kiện (0,25).

Vận dụng quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình vào tình huống thực tế về chuyển động; biết kiểm tra kết quả bằng cách tính thời gian đi và về.

Bác Hùng đi xe máy từ nhà đến chợ với vận tốc 40 km/h, rồi đi về nhà với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 1,75 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính quãng đường từ nhà đến chợ.
Câu hỏi GV đặt ra: Đại lượng nào là ẩn? Thời gian đi và thời gian về được tính thế nào theo quãng đường? Vì sao quãng đường phải dương?
Học sinh hoàn thành phần lời giải này; có thể tham khảo học liệu số NeoEdu để kiểm tra đáp án.

Kết quả cần đạt: Gọi quãng đường từ nhà đến chợ là $x$ (km), $x>0$. Thời gian đi là $\dfrac{x}{40}$ giờ, thời gian về là $\dfrac{x}{30}$ giờ. Phương trình $\dfrac{x}{40}+\dfrac{x}{30}=1{,}75$. Nhân hai vế với 120: $3x+4x=210$, $7x=210$, $x=30$ (thỏa mãn $x>0$).
Kiểm tra: đi mất $\dfrac{30}{40}=0{,}75$ giờ, về mất $\dfrac{30}{30}=1$ giờ, tổng $1{,}75$ giờ (đúng).
Kết luận: quãng đường từ nhà đến chợ dài 30 km.