Giáo án Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Huy động kiến thức về nhân, chia phân số để HS nhận ra phép nhân, chia phân thức đại số có cùng cách làm; từ đó xác định nhiệm vụ của bài học.

GV chiếu hai phép tính: $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{5}$. HS trả lời các câu hỏi: (1) Nêu quy tắc nhân hai phân số và tính kết quả. (2) Nêu quy tắc chia phân số; vì sao chia cho $\dfrac{4}{5}$ lại bằng nhân với $\dfrac{5}{4}$? (3) Theo em, phân thức đại số có làm được như vậy không? Cần chú ý điều gì khi mẫu hoặc số chia có chứa biến?

• $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
• $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$.
• Quy tắc: nhân tử với tử, mẫu với mẫu; chia cho một phân số khác 0 là nhân với phân số nghịch đảo của nó.
• Dự đoán của HS: phân thức cũng làm như vậy, nhưng phải ghi điều kiện để mẫu và số chia khác 0.

HS nêu được quy tắc nhân hai phân thức, biết rút gọn bằng cách phân tích nhân tử và ghi điều kiện của kết quả.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1, phần A. Nhiệm vụ: (1) Viết quy tắc nhân hai phân thức $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}$. (2) Tính $\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{x}{x+1}$: nhân tử với tử, mẫu với mẫu; phân tích tử và mẫu thành nhân tử; ghi điều kiện của các mẫu trước khi rút gọn. (3) Tính giá trị của kết quả tại $x=4$ và so sánh với giá trị của biểu thức ban đầu tại $x=4$.

• Quy tắc: $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot D}$ với $B\neq 0$, $D\neq 0$, sau đó rút gọn.
• Điều kiện: $x\neq 0$ (mẫu của phân thức thứ nhất) và $x+1\neq 0$, tức $x\neq -1$ (mẫu của phân thức thứ hai).
• Biến đổi: $\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot x}{x\cdot(x+1)}=x-1$ với $x\neq 0$, $x\neq -1$.
• Tại $x=4$: $x-1=3$, và biểu thức ban đầu cũng cho $\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{4}{5}=3$. Kết quả trùng nhau.
• Kết luận: cần ghi điều kiện của mẫu trước khi rút gọn, và điều kiện đó vẫn được giữ trong kết quả.

HS nêu được quy tắc chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo, giải thích vì sao số chia phải khác 0 và phát hiện được quan niệm sai thường gặp.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần B. Nhiệm vụ: (1) Viết quy tắc chia $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}$ và nêu điều kiện. (2) Tính $\dfrac{3}{x}:\dfrac{6}{x}$ với $x\neq 0$ và tính giá trị tại $x=2$. (3) Thảo luận: “Chia phân thức chỉ cần mẫu ban đầu khác 0 là đủ, đúng hay sai?”

• Quy tắc: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}=\dfrac{A\cdot D}{B\cdot C}$ với $B\neq 0$, $C\neq 0$, $D\neq 0$.
• Ghi nhớ: số chia $\dfrac{C}{D}$ phải khác 0, tức tử số $C$ của phân thức chia phải khác 0.
• Tính: $\dfrac{3}{x}:\dfrac{6}{x}=\dfrac{3}{x}\cdot\dfrac{x}{6}=\dfrac{1}{2}$ với $x\neq 0$. Tại $x=2$: kết quả là $0{,}5$.
• Nhận định: câu nói là sai, vì còn cần số chia khác 0 (tử số của phân thức chia phải khác 0).

HS vận dụng quy tắc nhân, chia phân thức để tính giá trị biểu thức, xác định các giá trị bị loại và phát hiện sai lầm trong lời giải.

Lớp chia thành 3 nhóm trạm (mỗi trạm 1 nhóm, các nhóm luân phiên sau 8 phút). Làm theo Phiếu học tập số 2:

• Trạm 1: Bài 1 và Bài 2.
• Trạm 2: Bài 3, Bài 4 và Bài 6.
• Trạm 3: Bài 5, Bài 7 và Bài 8.
  Mỗi nhóm ghi lời giải ngắn gọn ra bảng nhóm, có ghi điều kiện.

• Bài 1: $\dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{x}{5}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$ với $x\neq 0$ (khử $x$). Đáp án đúng là C ($0{,}4$).
• Bài 2: $\dfrac{3}{x}:\dfrac{6}{x}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ với $x\neq 0$. Điền: $0{,}5$.
• Bài 3: $\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{x}{x+1}=x-1$, điều kiện $x\neq 0$, $x\neq -1$. Tại $x=4$: $3$.
• Bài 4: $\dfrac{x}{3}:\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{9}{x^2}=\dfrac{3}{x}$ với $x\neq 0$. Tại $x=2$: $\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Bạn trả lời $2{,}5$ là sai.
• Bài 5: Các giá trị bị loại là $x=0$ (mẫu của $\dfrac{1}{x}$), $x=-1$ (mẫu của $\dfrac{x-2}{x+1}$) và $x=2$ (tử số của số chia bằng 0). Số giá trị bị loại là 3.
• Bài 6: $\dfrac{x+2}{x-1}:\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{3}{x-1}$ với $x\neq 1$, $x\neq -2$. Tại $x=4$: $1$.
• Bài 7: Sai ở chỗ chỉ nêu điều kiện mẫu. Đúng phải là: số chia khác 0, tức tử số của phân thức chia khác 0 (có thể nêu thêm $B\neq 0$, $C\neq 0$, $D\neq 0$).
• Bài 8: $\dfrac{x^2-4}{x+1}:\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}=x+2$ với $x\neq -1$, $x\neq 2$.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng phân thức và dùng phép chia phân thức để tìm thời gian, đồng thời kiểm tra điều kiện của kết quả.

Một bạn đi xe đạp trên quãng đường $s=\dfrac{x^2-4}{x+1}$ km với vận tốc trung bình $v=\dfrac{x-2}{x+1}$ km/h (điều kiện $x\neq -1$, $x\neq 2$). Hãy: (1) Viết công thức tính thời gian $t$ theo $s$ và $v$, sau đó tính $t$ dưới dạng một phân thức rút gọn. (2) Nêu điều kiện của $x$ để bài toán có ý nghĩa. (3) Tính $t$ khi $x=3$ và kiểm tra lại bằng cách thay số trực tiếp.

• Công thức: $t=s:v=\dfrac{x^2-4}{x+1}:\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{x^2-4}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}=x+2$ (giờ).
• Điều kiện: $x\neq -1$, $x\neq 2$ (và $v\neq 0$ nên $x\neq 2$).
• Tại $x=3$: $s=\dfrac{5}{4}$ km, $v=\dfrac{1}{4}$ km/h, $t=\dfrac{5}{4}:\dfrac{1}{4}=5$ giờ, khớp với $x+2=5$.
• Kết luận: thời gian đi là $x+2$ giờ, với $x\neq -1$ và $x\neq 2$.