Giáo án Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Huy động kiến thức cộng phân số đã học ở tiểu học và lớp 6 để dẫn dắt vào phép cộng phân thức đại số.

GV ghi lên bảng hai phép tính: $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$. Sau đó hỏi: “Vì sao phép tính thứ nhất làm nhanh hơn phép tính thứ hai? Nếu thay các số bằng biến x, các phân thức $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ có cộng được như vậy không?” HS làm bảng con rồi giơ bảng.

Kết quả: $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$. HS nhận ra: cùng mẫu thì cộng tử và giữ mẫu; khác mẫu thì phải quy đồng trước. Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để cộng hai phân thức đại số? Nhiệm vụ học tập được xác định rõ.

HS nêu được quy tắc cộng, trừ phân thức cùng mẫu và vận dụng để tính giá trị biểu thức tại một giá trị cho trước của biến.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1: (a) Tính $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}$; (b) Tính $\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x-1}{x}$; (c) Với điều kiện $x \neq 0$, rút ra quy tắc cộng và trừ hai phân thức cùng mẫu; (d) Tính giá trị của biểu thức ở (b) tại $x=4$ theo hai cách: thay trực tiếp vào biểu thức ban đầu và thay vào biểu thức đã rút gọn.

(a) $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{5}{x}$, $x \neq 0$.
(b) Tử: $(x+1)-(x-1)=2$, nên $\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{2}{x}$, $x \neq 0$.
(c) Quy tắc: với $B \neq 0$, $\dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}$ và $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{B}=\dfrac{A-C}{B}$.
(d) Tại $x=4$: $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, tức $0{,}5$. Cả hai cách cho cùng kết quả.

HS nêu được phân thức đối và biết chuyển phép trừ thành phép cộng với phân thức đối; đổi dấu đúng khi trừ tử có nhiều hạng tử.

GV hướng dẫn HS nhận xét: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{B}$ có thể viết thành $\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{B}\right)$. HS làm nhanh mục bổ sung trên Phiếu học tập số 1: (a) Viết phân thức đối của $\dfrac{x-2}{x+3}$; (b) Tính $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x-2}$ với $x \neq 2$ rồi tính giá trị tại $x=6$.

(a) Phân thức đối của $\dfrac{x-2}{x+3}$ là $-\dfrac{x-2}{x+3}$, cũng có thể viết $\dfrac{2-x}{x+3}$, điều kiện $x \neq -3$.
(b) $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}$, $x \neq 2$. Tại $x=6$: $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, tức $0{,}5$.
Kết luận: Phân thức đối của $\dfrac{A}{B}$ là $-\dfrac{A}{B}$; khi trừ một tử nhiều hạng tử, phải đổi dấu cả tử.

HS giải thích được quy trình quy đồng mẫu thức và thực hiện đúng các bước: tìm điều kiện, phân tích mẫu, chọn mẫu chung, nhân tử phụ, gộp tử, rút gọn, kết luận điều kiện.

Nhóm 4 HS làm Phiếu học tập số 2 theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi thành viên ghi một bước vào ô của mình, sau đó cả nhóm thống nhất vào ô trung tâm. Nhiệm vụ: Tính $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ với $x \neq 0$, $x \neq -1$. Nhóm thống nhất 6 bước của quy trình và ghi lý do cho từng bước. Câu hỏi gợi ý: “Vì sao phải tìm điều kiện trước khi làm?”; “Mẫu chung của $x$ và $x+1$ là gì?”; “Nhân tử phụ của $x$ và $x+1$ là gì?”

Quy trình gồm: (1) Tìm điều kiện: $x \neq 0$, $x+1 \neq 0$, tức $x \neq 0$, $x \neq -1$. (2) Phân tích mẫu: $x$ và $x+1$ đều đã ở dạng nhân tử. (3) Chọn mẫu chung: $x(x+1)$. (4) Nhân tử phụ: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}$, $\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x(x+1)}$. (5) Gộp tử: $\dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$. (6) Rút gọn: không rút gọn được; kết luận $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$, $x \neq 0$, $x \neq -1$.
Lưu ý: Không được cộng mẫu với mẫu: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}$, $x \neq 0$, $y \neq 0$, không phải $\dfrac{2}{x+y}$.

HS vận dụng quy tắc cộng, trừ phân thức cùng mẫu và thay giá trị của biến để tính đúng kết quả.

HS làm việc cá nhân rồi kiểm tra theo cặp các bài sau: (1) Tính $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}$ tại $x=5$; A. 0; B. 1; C. 3; D. 2. (2) Tính $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x}$ tại $x=2$. (3) Tính $\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x-1}{x}$ tại $x=4$. (4) Tính $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}$ tại $x=6$. (5) Tính $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x-2}$ tại $x=6$. HS có thể dùng học liệu NeoEdu để kiểm tra đáp số sau khi tự làm.

(1) $\dfrac{5}{x}=1$ khi $x=5$. Đáp án B.
(2) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2-1}{2x}=\dfrac{1}{2x}$; tại $x=2$: $\dfrac{1}{4}=0{,}25$.
(3) $\dfrac{2}{x}$; tại $x=4$: $\dfrac{1}{2}=0{,}5$.
(4) $\dfrac{x+1}{x+1}=1$, $x \neq -1$; tại $x=6$: kết quả là $1$.
(5) $\dfrac{2}{x-2}$, $x \neq 2$; tại $x=6$: $\dfrac{2}{4}=0{,}5$.

HS quy đồng mẫu thức đúng, phát hiện và sửa sai lầm; giải thích được vì sao kết quả không bằng 0 khi xác định.

HS làm việc nhóm 4 với các bài: (1) Tính $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}$ tại $x=3$. Một bạn trả lời 1,75; bạn ấy đúng không? (2) Phát hiện và sửa sai: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{x+y}$. (3) Rút gọn $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ và giải thích vì sao kết quả không bằng 0 khi xác định.

(1) Sai. $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x}{x^2-1}$, $x \neq \pm 1$. Tại $x=3$: $\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$, không phải 1,75.
(2) Sai ở chỗ cộng mẫu với mẫu. Đúng là $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}$, $x \neq 0$, $y \neq 0$.
(3) $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{x^2-1}$, $x \neq \pm 1$. Tử luôn bằng 2, khác 0, nên phân thức không bằng 0 với mọi giá trị xác định.
Gợi ý chấm (bài 2, 3): xác định đúng vấn đề 0,25 điểm; lập luận hoặc tính toán đúng 0,5 điểm; kết luận rõ và đúng điều kiện 0,25 điểm.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng tổng hai phân thức, tính được kết quả và kiểm tra điều kiện của biến.

Tình huống: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chưa có nước. Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{x+1}$ bể, với $x$ là số giờ trong điều kiện $x>0$. (a) Viết biểu thức biểu diễn lượng nước cả hai vòi chảy được trong 1 giờ dưới dạng một phân thức. (b) Tính giá trị khi $x=2$ và giải thích ý nghĩa. (c) Vì sao điều kiện $x>0$ là phù hợp với tình huống này?

(a) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$, với $x>0$ (thỏa mãn $x \neq 0$, $x \neq -1$).
(b) Tại $x=2$: $\dfrac{2\cdot 2+1}{2(2+1)}=\dfrac{5}{6}$ bể. Ý nghĩa: trong 1 giờ hai vòi cùng chảy được $\dfrac{5}{6}$ bể.
(c) $x$ là thời gian nên phải dương; với $x>0$ thì mẫu $x(x+1)$ khác 0, phù hợp điều kiện xác định.