Giáo án Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

HS nhớ lại ý tưởng nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một số khác $0$ thì được phân số bằng nhau; nhận ra nhu cầu có tính chất tương tự cho phân thức đại số.

GV nêu hai câu hỏi:

• Vì sao $\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}$? Số học có quy tắc nào cho ta điều này?
• Tính giá trị của $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ tại $x=5$ theo hai cách: (1) thay trực tiếp $x=5$ vào biểu thức; (2) rút gọn trước rồi thay giá trị. Hai cách có cho cùng kết quả không? Cách nào nhanh hơn?

• Số học: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\dfrac{10}{15}$, vì nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác $0$ thì được phân số bằng phân số đã cho.
• Cách 1: $\dfrac{5^2-4}{5-2}=\dfrac{21}{3}=7$.
• Cách 2: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$ với $x\neq 2$; thay $x=5$ được $7$.
• Kết luận HS rút ra: hai cách cho cùng kết quả; cần có quy tắc cho phân thức đại số để rút gọn đúng và nêu rõ điều kiện của biến.

HS nêu và vận dụng được tính chất nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác $0$; nhận ra vai trò của điều kiện của biến.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1:

• Cho $\dfrac{2}{x}$. Nhân cả tử và mẫu với $3x$ (với $x\neq 0$). Viết phân thức mới và nêu điều kiện của biến.
• Rút gọn $\dfrac{3x}{6x}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho $3x$. Nêu điều kiện của biến.
• So sánh kết quả với giá trị của $\dfrac{3x}{6x}$ tại $x=7$.
• Nêu nhận xét: tính chất cơ bản của phân thức là gì?

• $\dfrac{2}{x}=\dfrac{2\cdot 3x}{x\cdot 3x}=\dfrac{6x}{3x^2}$, điều kiện $x\neq 0$.
• $\dfrac{3x}{6x}=\dfrac{1}{2}$, điều kiện $x\neq 0$.
• Tại $x=7$: $\dfrac{3\cdot 7}{6\cdot 7}=\dfrac{21}{42}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$, trùng với kết quả rút gọn.
• Kiến thức HS rút ra: nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác $0$ thì được phân thức bằng phân thức đã cho trên miền xác định. Kết quả rút gọn vẫn phải giữ điều kiện $x\neq 0$ của biểu thức ban đầu.

HS giải thích được vì sao đổi dấu cả tử và mẫu không làm thay đổi giá trị phân thức; nắm quy trình rút gọn gồm phân tích thành nhân tử, xác định điều kiện và khử nhân tử chung; nhận biết lỗi khử hạng tử của một tổng.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:

• Biến đổi $\dfrac{-x}{1-x}$ bằng cách đổi dấu cả tử và mẫu. Tính giá trị của biểu thức tại $x=3$ theo hai cách.
• Rút gọn $\dfrac{x^2-1}{x^2+x}$: tìm điều kiện của biến, phân tích tử và mẫu thành nhân tử, khử nhân tử chung.
• Xét biểu thức $\dfrac{x+2}{x+3}$: một bạn khử $x$ và viết $\dfrac{2}{3}$. Kiểm tra bằng cách thay $x=1$ vào hai biểu thức.
• Tóm tắt quy trình rút gọn phân thức theo ba bước.

• $\dfrac{-x}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}$ (đổi dấu cả tử và mẫu). Tại $x=3$: $\dfrac{-3}{1-3}=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ và $\dfrac{3}{3-1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Hai cách cho cùng kết quả.
• $\dfrac{x^2-1}{x^2+x}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{x-1}{x}$, điều kiện $x\neq 0$ và $x\neq -1$.
• Lỗi sai: $\dfrac{x+2}{x+3}\neq \dfrac{2}{3}$, vì $x$ không phải nhân tử chung của cả tử và mẫu. Tại $x=1$: $\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{2}{3}$.
• Quy trình gồm ba bước: (1) phân tích tử và mẫu thành nhân tử; (2) xác định điều kiện để mẫu khác $0$; (3) khử nhân tử chung và giữ điều kiện của biểu thức ban đầu. Không khử từng hạng tử trong một tổng.

HS vận dụng tính chất cơ bản và quy trình rút gọn để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm và điền khuyết; kiểm tra điều kiện của biến và giá trị biểu thức.

Các cặp đôi tham gia trò chơi trả lời sáu bài tập ngắn:

• Bài 1: Rút gọn $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ rồi tính giá trị tại $x=5$. Chọn đáp án: A. 9; B. 8; C. 6; D. 7.
• Bài 2: Tính giá trị $\dfrac{3x}{6x}$ với $x=7$ (điền kết quả).
• Bài 3: Có bao nhiêu giá trị của $x$ bị loại trong $\dfrac{x^2-1}{x^2+x}$?
• Bài 4: Tính giá trị $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ tại $x=4$. Một bạn trả lời $4$. Bạn đó đúng không?
• Bài 5: Nhân tử phụ đưa mẫu $2x$ lên $6x^2$ là $3x$. Tính giá trị nhân tử phụ tại $x=2$.
• Bài 6: Tính giá trị $\dfrac{-x}{1-x}$ tại $x=3$.

• Bài 1: Đáp án D. Điều kiện $x\neq 2$; $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2=7$ khi $x=5$.
• Bài 2: $0{,}5$ (tức $\dfrac{1}{2}$), điều kiện $x\neq 0$.
• Bài 3: 2 giá trị bị loại là $0$ và $-1$, vì mẫu là $x(x+1)$.
• Bài 4: Sai. Điều kiện $x\neq -1$; rút gọn được $x-1$, tại $x=4$ bằng $3$, không phải $4$.
• Bài 5: $6$, vì $3\cdot 2=6$.
• Bài 6: $1{,}5$, vì $\dfrac{-3}{1-3}=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}$.

HS phát hiện được lỗi trong lời giải và tự sửa lại đúng; rút gọn phân thức và nêu đủ điều kiện của biến.

Các nhóm 4 làm việc với Phiếu học tập số 3:

• Bài 7: Xét lời giải $\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{2}{3}$ sau khi khử $x$. Chỉ ra lỗi sai, kiểm tra bằng giá trị cụ thể và sửa lại.
• Bài 8: Rút gọn $\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}$ và nêu điều kiện đầy đủ của biến.

• Bài 7: Lỗi là khử $x$ ở hạng tử của tổng, không được phép. Tại $x=1$: $\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{2}{3}$, nên lời giải sai. Biểu thức không có nhân tử chung ở tử và mẫu nên không rút gọn được bằng cách khử $x$.
• Bài 8: $\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\dfrac{x+3}{x}$. Điều kiện: $x\neq 0$ và $x\neq 3$; phải giữ cả điều kiện $x\neq 3$ dù đã khử nhân tử $x-3$.

HS mô hình hoá một tình huống thực tế bằng phân thức đại số, rút gọn phân thức và nêu đủ điều kiện của biến.

Một đoàn đi tham quan có quãng đường $x^2-9$ (km) và thời gian đi là $x^2-3x$ (giờ), với $x$ là số thỏa mãn điều kiện để biểu thức có nghĩa.

• Viết biểu thức vận tốc trung bình của đoàn dưới dạng một phân thức.
• Rút gọn phân thức và nêu điều kiện của $x$.
• Tính vận tốc trung bình khi $x=6$.
  Nhiệm vụ này có thể giao về nhà để HS hoàn thành và báo cáo ở tiết sau.

• Vận tốc trung bình: $\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}$ (km/h).
• Rút gọn: $\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\dfrac{x+3}{x}$, điều kiện $x\neq 0$ và $x\neq 3$.
• Khi $x=6$: $\dfrac{6+3}{6}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ (km/h).
• HS kiểm tra lại: cả hai biểu thức cho cùng kết quả $1{,}5$ tại $x=6$.