Giáo án Bài 21. Phân thức đại số

HS nhận ra biểu thức dạng phân số có chứa biến ở mẫu và nhận thấy cần kiểm tra mẫu trước khi tính.

GV đưa ra câu hỏi: Tính giá trị của $\dfrac{x}{x+2}$ tại $x = 2$ và tại $x = -2$. HS thảo luận cặp đôi để tính giá trị tại $x = 2$, sau đó quan sát điều xảy ra khi thay $x = -2$.

HS nêu được: tại $x = 2$, $\dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2}$; tại $x = -2$, mẫu bằng $0$ nên phép chia không thực hiện được. Từ đó HS thấy cần xét giá trị của biến làm mẫu bằng 0 trước khi tính.

HS nêu được định nghĩa phân thức đại số, phân biệt đa thức khác 0 và mẫu nhận giá trị 0 tại một điểm, tìm được điều kiện xác định của phân thức.

HS hoạt động theo nhóm 4, hoàn thành Phiếu học tập số 1: nhận diện phân thức, xác định điều kiện xác định của $\dfrac{x+2}{x-3}$, $\dfrac{1}{x-4}$ và $\dfrac{1}{x^2-9}$; viết $A$ dưới dạng $\dfrac{A}{1}$.

Kết luận HS rút ra: Phân thức đại số có dạng $\dfrac{A}{B}$, $A$ và $B$ là đa thức, $B$ khác đa thức 0. Điều kiện xác định là $B \neq 0$. Với $\dfrac{x+2}{x-3}$, điều kiện là $x \neq 3$; với $\dfrac{1}{x-4}$, giá trị bị loại là $x = 4$; với $\dfrac{1}{x^2-9}$, vì $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ nên các giá trị bị loại là $x = 3$ và $x = -3$. Mọi đa thức $A$ đều viết được thành $\dfrac{A}{1}$.

HS tính được giá trị phân thức tại giá trị biến cho trước sau khi kiểm tra điều kiện; nêu được điều kiện để hai phân thức bằng nhau và vận dụng vào giải bài toán.

GV trình bày ví dụ: Tính giá trị của $\dfrac{x}{x+2}$ tại $x = 2$. Sau đó HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2 (phần tính giá trị và phần hai phân thức bằng nhau). Tại $x = 1$, HS tính giá trị của $\dfrac{x+2}{x-3}$ và kiểm tra điều kiện.

Ví dụ: tại $x = 2$, mẫu $2 + 2 = 4 \neq 0$ nên $\dfrac{2}{2+2} = \dfrac{1}{2}$. Tại $x = 1$, mẫu $1 - 3 = -2 \neq 0$ nên $\dfrac{1+2}{1-3} = -\dfrac{3}{2}$. Kiến thức rút ra: Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi $AD = BC$ trên miền xác định chung; khi tính giá trị phải kiểm tra điều kiện trước khi thay số.

HS vận dụng điều kiện xác định để giải các bài tập cơ bản và nhận ra sai lầm khi xét mẫu bằng 0.

HS làm nhanh các bài 1, 2, 4, 5, 6 bằng bảng con, sau đó thảo luận cặp đôi bài 7 về việc phát hiện và sửa sai.

Bài 1: đáp án C (x = 4, vì $x - 4 = 0$ khi $x = 4$). Bài 2: $\dfrac{3+1}{3-1} = 2$. Bài 4: sai, vì $\dfrac{3 \cdot 4}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$, không phải 3. Bài 5: 2 giá trị bị loại là $x = 3$ và $x = -3$. Bài 6: tại $x = 0$, $\dfrac{0^2+2}{0+1} = 2$. Bài 7: Sai ở chỗ $\dfrac{0}{x-1}$ chỉ bằng 0 khi $x \neq 1$; tại $x = 1$ phân thức không xác định, nên không thể nói luôn bằng 0 với mọi $x$.

HS vận dụng phân thức để mô hình hoá một tình huống thực tế và giải thích điều kiện của biến.

Một xưởng may có chi phí cố định 200 nghìn đồng và chi phí sản xuất mỗi sản phẩm 50 nghìn đồng. Gọi $x$ là số sản phẩm ($x$ là số nguyên dương). Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\dfrac{50x + 200}{x}$. Yêu cầu: (a) Nêu điều kiện của $x$; (b) Tính chi phí trung bình khi $x = 10$ và khi $x = 100$; (c) Giải thích vì sao chi phí trung bình giảm khi số sản phẩm tăng.

(a) Mẫu là $x$ nên $x \neq 0$; theo bối cảnh $x$ là số nguyên dương. (b) Khi $x = 10$: $\dfrac{50 \cdot 10 + 200}{10} = \dfrac{700}{10} = 70$ (nghìn đồng). Khi $x = 100$: $\dfrac{50 \cdot 100 + 200}{100} = \dfrac{5200}{100} = 52$ (nghìn đồng). (c) Phần chi phí cố định $\dfrac{200}{x}$ giảm khi $x$ tăng nên chi phí trung bình giảm dần, tiến gần 50 nghìn đồng.