Giáo án Bài 2. Đa thức

Huy động kiến thức về đơn thức, hạng tử và đơn thức đồng dạng; dẫn dắt HS đến nhu cầu thu gọn biểu thức để có dạng gọn hơn.

GV chiếu biểu thức $2x^2+3xy-x^2-3xy+5$ và đặt câu hỏi: (1) Biểu thức này có bao nhiêu hạng tử? (2) Những hạng tử nào có thể cộng lại được với nhau? Vì sao? (3) Nếu thu gọn biểu thức này thì còn lại mấy hạng tử? HS trả lời vào bảng con.

HS nhận ra biểu thức có 5 hạng tử: $2x^2$, $3xy$, $-x^2$, $-3xy$, $5$. Các cặp hạng tử đồng dạng là $2x^2$ và $-x^2$ (cùng phần biến $x^2$), $3xy$ và $-3xy$ (cùng phần biến $xy$). Sau khi thu gọn còn 2 hạng tử. HS nêu được nhu cầu: cần có cách thu gọn biểu thức để dễ nhìn và dễ xác định các tính chất của nó.

Nêu được định nghĩa đa thức là tổng các đơn thức; thu gọn được đa thức bằng cách nhóm các đơn thức đồng dạng và đổi phép trừ thành cộng số đối.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Các nhiệm vụ: (1) Quan sát các biểu thức $2x^2+3xy-x^2-3xy+5$, $x^2+y^2$, $3x^2y+2x-1$; cho biết biểu thức nào là tổng của các đơn thức. (2) Nêu định nghĩa đa thức theo cách hiểu của em. (3) Thu gọn đa thức $2x^2+3xy-x^2-3xy+5$: đánh dấu các hạng tử đồng dạng, cộng hệ số, đổi phép trừ thành cộng số đối nếu cần. (4) Thu gọn đa thức $x^3+2x-x^3+7$ và nêu lý do tại sao hạng tử $x^3$ và $-x^3$ mất đi.

Đa thức là tổng của các đơn thức. Cả ba biểu thức trong nhiệm vụ (1) đều là đa thức.
Kết quả thu gọn: $2x^2+3xy-x^2-3xy+5=x^2+5$ (các hạng tử $2x^2-x^2=x^2$ và $3xy-3xy=0$).
Kết quả thu gọn: $x^3+2x-x^3+7=2x+7$ (vì $x^3-x^3=0$).
Kiến thức HS rút ra: Muốn thu gọn đa thức, ta nhóm các đơn thức đồng dạng, cộng hệ số của chúng, giữ nguyên phần biến; phép trừ được đổi thành cộng số đối.

Xác định được bậc của đa thức khác 0 đã thu gọn là bậc cao nhất của các hạng tử; giải thích được vì sao phải thu gọn trước khi xác định bậc.

HS làm việc theo nhóm 4 người (kỹ thuật tia chớp kết hợp thảo luận). GV nêu nhiệm vụ: (1) Tìm bậc của mỗi hạng tử trong đa thức $3x^2y+2x-1$; từ đó xác định bậc của đa thức. (2) Xét đa thức $x^3+2x-x^3+7$: một bạn cho rằng bậc là 3 vì có hạng tử $x^3$. Em hãy thu gọn trước rồi xác định bậc và cho biết bạn đó đúng hay sai. (3) Rút ra quy tắc xác định bậc của một đa thức khác 0 đã thu gọn.

Bậc của hạng tử $3x^2y$ là $3$ (tổng số mũ $2+1$); hạng tử $2x$ có bậc 1; hạng tử $-1$ có bậc 0. Vậy đa thức $3x^2y+2x-1$ có bậc 3.
Thu gọn $x^3+2x-x^3+7=2x+7$, bậc của đa thức là 1; bạn nói bậc 3 là sai vì chưa thu gọn, hạng tử $x^3$ đã bị triệt tiêu.
Kiến thức rút ra: Bậc của đa thức khác 0 đã thu gọn là bậc cao nhất trong các bậc của hạng tử; phải thu gọn trước khi xác định bậc.

Vận dụng thành thạo việc thu gọn đa thức, xác định bậc, tính giá trị đa thức và phát hiện, sửa lỗi sai; rèn kỹ năng lập luận toán học.

GV tổ chức trò chơi "Ai nhanh hơn" với các bài 1, 2, 3, 5, 6 (chiếu trên máy chiếu, HS trả lời bằng bảng con). Sau đó HS làm việc nhóm với Phiếu học tập số 2 để giải bài 4, 7 và 8.
Bài 1: Bậc của $3x^2y+2x-1$ là? A. 5; B. 4; C. 2; D. 3.
Bài 2: Hệ số của $xy$ trong $4xy+3x^2-xy$ là bao nhiêu?
Bài 3: Tính giá trị của $x^2+2xy+y^2$ tại $x=2$, $y=1$.
Bài 5: Có bao nhiêu hạng tử sau khi thu gọn $x^2+xy+2x^2-xy+1$?
Bài 6: Tính giá trị của $2x^2-y+3$ tại $x=-1$, $y=4$.
Bài 4: Một bạn cho rằng bậc của $x^3+2x-x^3+7$ là 2. Bạn ấy đúng không?
Bài 7: Phát hiện và sửa sai: "Đa thức $x^2+y^2$ có bậc 4".
Bài 8: Nêu một đa thức ba hạng tử, bậc 3, theo hai biến $x$, $y$ và tính giá trị của đa thức đó tại $x=1$, $y=2$.

Đáp án: Bài 1: D (hạng tử $3x^2y$ có bậc 3, cao nhất). Bài 2: $3$ (vì $4xy-xy=3xy$). Bài 3: $9$ (vì $4+4+1=9$). Bài 5: 2 hạng tử (vì $x^2+xy+2x^2-xy+1=3x^2+1$). Bài 6: $1$ (vì $2\cdot1-4+3=1$). Bài 4: Sai, vì thu gọn được $2x+7$, bậc 1.
Bài 7: Sai ở kết luận. Đa thức $x^2+y^2$ có hai hạng tử, mỗi hạng tử bậc 2, nên đa thức có bậc 2; không cộng bậc các hạng tử với nhau.
Bài 8: Ví dụ $P=x^2y+xy+1$, bậc 3; $P(1,2)=1\cdot2+1\cdot2+1=5$.

Vận dụng kiến thức về đa thức để mô hình hoá một tình huống thực tế, thu gọn đa thức, xác định bậc và tính giá trị theo điều kiện cho trước.

Tình huống: Cửa hàng văn phòng phẩm của cô Hoa, trong hai ngày bán hàng, số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) lần lượt được biểu diễn bởi đa thức $3x^2+2xy$ (ngày thứ nhất) và $x^2-2xy+4$ (ngày thứ hai), trong đó $x$, $y$ là số nghìn đồng liên quan đến hai nhóm mặt hàng (tham số của mô hình). Nhiệm vụ: (1) Viết đa thức biểu diễn tổng số tiền thu được trong hai ngày. (2) Thu gọn đa thức và xác định bậc của nó. (3) Tính tổng số tiền khi $x=2$ và $y=5$. (4) Giải thích vì sao nên thu gọn trước khi xác định bậc.

Tổng số tiền: $(3x^2+2xy)+(x^2-2xy+4)=4x^2+4$ (nghìn đồng).
Đa thức đã thu gọn $4x^2+4$ có bậc 2.
Khi $x=2$, $y=5$: $4\cdot2^2+4=20$ (nghìn đồng); nhận xét: giá trị này không phụ thuộc $y$ vì hạng tử $2xy$ và $-2xy$ triệt tiêu.
Giải thích: Nếu không thu gọn, dễ nhầm bậc là 3 do hạng tử $2xy$ có bậc 2 hoặc không nhận ra hai hạng tử $xy$ triệt tiêu; thu gọn trước giúp xác định bậc đúng.