Giáo án Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Huy động kiến thức về tỉ số và chia đoạn thẳng theo tỉ số; tạo tình huống để HS dự đoán mối liên hệ giữa đường phân giác và tỉ số các đoạn trên cạnh đối diện.

GV nêu bài toán: Đoạn thẳng BC dài 12 cm được chia thành hai đoạn BD và DC sao cho BD : DC = 1 : 2. Tính BD và DC.
Sau đó GV đặt câu hỏi: Nếu AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC thì các đoạn BD, DC có liên hệ gì với AB, AC? Vì sao?

HS tính đúng BD = 4 cm, DC = 8 cm (vì BC có 3 phần, mỗi phần 4 cm).
HS đưa ra dự đoán ban đầu: DB : DC có thể tỉ lệ với AB : AC; đây là nhiệm vụ học tập của bài.

Qua thực hành vẽ, đo và tính, HS phát hiện tính chất DB/DC = AB/AC và rút ra kết luận bằng lập luận có kiểm chứng.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1: vẽ tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm; vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC); dùng thước đo DB, DC (đơn vị cm) và điền bảng.
Câu hỏi: Tính tỉ số DB : DC và so sánh với AB : AC. Có nhận xét gì? Nêu một cách kiểm tra khác bằng tính toán (dùng BC = DB + DC).

Bảng kết quả dự kiến: AB = 4, AC = 6, BC = 8; DB ≈ 3,2 cm; DC ≈ 4,8 cm (đo gần đúng); DB : DC ≈ 2 : 3 = AB : AC.
Kết luận HS rút ra: Đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn DB, DC tỉ lệ với AB, AC, tức là $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$.
Kiểm tra bằng tính toán: DB + DC = 3,2 + 4,8 = 8 = BC.

Từ tính chất vừa tìm được, HS thiết lập công thức tính DB, DC theo m, n và BC, đồng thời rèn kĩ năng kiểm tra điều kiện của kết quả.

GV dẫn dắt: Cho AB : AC = m : n và BC. Hãy đặt DB = x, tính DC theo BC và x; từ đó thiết lập công thức tính DB, DC.
Áp dụng ví dụ: AB : AC = 3 : 4, BC = 21. Tính DB và DC; kiểm tra lại bằng DB + DC = BC và DB : DC = 3 : 4.

Từ $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{m}{n}$ và DB + DC = BC, suy ra $DB=\dfrac{m\cdot BC}{m+n}$, $DC=\dfrac{n\cdot BC}{m+n}$.
Áp dụng: DB = $\dfrac{3\cdot 21}{7}$ = 9; DC = $\dfrac{4\cdot 21}{7}$ = 12.
Kiểm tra: DB + DC = 9 + 12 = 21 = BC; DB : DC = 9 : 12 = 3 : 4 = AB : AC.

HS vận dụng tính chất và công thức để tính đoạn thẳng, phát hiện sai lầm về trung điểm và rèn kĩ năng kiểm tra kết quả.

HS làm việc nhóm 4 theo Phiếu học tập số 2, mỗi nhóm nhận cùng bộ câu hỏi, chia công việc: hai bạn làm câu 1–3, hai bạn làm câu 4–5, sau đó đối chiếu chéo.
Câu 1: AB : AC = 2 : 3, BC = 20. Tính DB.
Câu 2: AB = AC, BC = 18, AD là phân giác. Bạn An trả lời DB = 10. Bạn An đúng không? Vì sao?
Câu 3: AB = 6, AC = 9, DC = 6. Tính DB.
Câu 4: DB = 5, DC = 10, AC = 14. Tính AB.
Câu 5: AB = 8, AC = 12, DB = x, DC = x + 3. Tìm x.

Câu 1: DB = $\dfrac{2\cdot 20}{5}$ = 8.
Câu 2: Sai. Vì AB = AC nên DB : DC = 1 : 1, DB = DC = 9; DB = 10 là sai.
Câu 3: DB = $\dfrac{6\cdot 6}{9}$ = 4 (chọn đáp án C trong đề trắc nghiệm).
Câu 4: AB = $\dfrac{14\cdot 5}{10}$ = 7.
Câu 5: $\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{2}{3}$ suy ra 3x = 2x + 6, x = 6 (DB = 6, DC = 9).
GV yêu cầu nhóm ghi thêm bước kiểm tra cho mỗi câu (tổng hai đoạn hoặc tỉ số).

Vận dụng tính chất đường phân giác và công thức để giải bài toán thực tế, đồng thời rèn kĩ năng mô hình hoá và kiểm tra kết quả.

Trên một mảnh đất hình tam giác ABC, người ta làm lối đi AD từ đỉnh A đến cạnh BC sao cho AD là tia phân giác góc A. Biết AB = 10 m, AC = 15 m, BC = 20 m. Yêu cầu HS tính DB, DC và giải thích vì sao D không phải là trung điểm của BC.
Nhiệm vụ mở rộng (nếu còn thời gian): Nêu một tình huống thực tế khác có thể dùng tính chất này.

Dự kiến: DB : DC = AB : AC = 10 : 15 = 2 : 3; DB + DC = 20 m nên DB = $\dfrac{2\cdot 20}{5}$ = 8 m, DC = 12 m.
Kiểm tra: 8 + 12 = 20 = BC; 8 : 12 = 2 : 3.
Giải thích: DB = 8 m khác DC = 12 m nên D không là trung điểm BC; điều này phù hợp vì AB ≠ AC.