Giáo án Bài 16. Đường trung bình của tam giác

Tạo tình huống có vấn đề; HS nhận biết cần tìm mối liên hệ giữa đoạn nối trung điểm hai cạnh với cạnh thứ ba.

GV vẽ tam giác ABC lên bảng (BC nằm ngang, khoảng 8 cm). Lấy M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. HS đo bằng thước rồi trả lời: (1) Đoạn MN có song song với BC không? (2) Độ dài MN gấp mấy lần độ dài BC? Trả lời dự đoán trước, sau đó kiểm tra bằng đo đạc.

Dự đoán ban đầu: MN có vẻ song song với BC; độ dài MN bằng một nửa BC. Số liệu đo mẫu: nếu BC = 8 cm thì MN ≈ 4 cm, từ đó HS nêu nhiệm vụ học tập: chứng minh quan hệ $MN \parallel BC$ và $MN=\dfrac{BC}{2}$ với mọi tam giác.

HS nêu được định nghĩa đường trung bình; phát biểu và chứng minh được tính chất $MN \parallel BC$, $MN=\dfrac{BC}{2}$ bằng định lí Thalès.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (a) Đọc định nghĩa đường trung bình. (b) Với tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, tính các tỉ số $\dfrac{AM}{AB}$ và $\dfrac{AN}{AC}$. (c) Dùng định lí Thalès đảo (đã biết) để suy ra MN và BC song song. (d) Tính $\dfrac{MN}{BC}$. Câu hỏi GV đặt ra: “Vì sao chỉ cần biết M và N là trung điểm là đủ để kết luận MN song song BC?”; “Nếu chỉ biết $AM=MB$ mà chưa biết N có phải trung điểm AC không thì có kết luận được gì?”

Định nghĩa: đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác là đường trung bình của tam giác.
Kết quả lập luận: $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, suy ra $MN \parallel BC$ (định lí Thalès đảo).
Tính chất: $MN \parallel BC$ và $MN=\dfrac{BC}{2}$ (vì $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}$).
Lưu ý điều kiện: cần đủ hai trung điểm M và N; chỉ có $AM=MB$ thì chưa đủ để kết luận MN là đường trung bình.

HS nêu và vận dụng được tính chất đảo; hiểu vì sao cần điều kiện song song với cạnh thứ ba và nhận biết quan niệm sai về “chia đôi cạnh khác”.

HS làm việc theo nhóm 4 (kĩ thuật mảnh ghép hoặc khăn trải bàn đơn giản) với Phiếu học tập số 2. Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại N. Nhiệm vụ: (a) Dùng định lí Thalès tính $\dfrac{AN}{AC}$ và kết luận N có phải trung điểm AC không. (b) Phát biểu tính chất đảo. (c) Xét khẳng định: “Đường đi qua trung điểm một cạnh luôn chia đôi cạnh khác”; tìm phản ví dụ khi đường đó không song song với cạnh thứ ba. Câu hỏi GV đặt ra: “Điều gì xảy ra với N nếu đường qua M không song song BC?”

Lập luận: vì $MN \parallel BC$ nên $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}$, do đó $AN=\dfrac{AC}{2}$, N là trung điểm AC.
Tính chất đảo: đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại.
Kết luận về quan niệm sai: đường qua trung điểm một cạnh chỉ chia đôi cạnh kia khi nó song song với cạnh thứ ba; nếu không song song thì giao điểm có thể nằm ở vị trí khác trên cạnh đó.

HS vận dụng đường trung bình để tính độ dài, tìm giá trị chưa biết, nhận biết điều kiện, phát hiện và sửa sai, chứng minh hình bình hành.

Lớp chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm luân phiên qua 3 trạm trong thời gian khoảng 7 phút mỗi trạm.
Trạm 1 (tính toán): Bài 2: M, N là trung điểm AB, AC, BC = 18 cm. MN bằng bao nhiêu? A. 8; B. 9; C. 11; D. 10. Bài 3: Đường trung bình dài 7 cm, cạnh song song với nó dài bao nhiêu? Bài 4: AB = 16 cm, M là trung điểm AB, tính AM.
Trạm 2 (lập luận và nhận biết): Bài 1: Trong tam giác ABC, với M thuộc AB, N thuộc AC, khi nào MN là đường trung bình? Bài 5: Tam giác có chu vi 42 cm; tam giác nối ba trung điểm có chu vi bao nhiêu? Một bạn trả lời 22; bạn ấy đúng không? Bài 6: MN là đường trung bình, MN = 3x − 1, BC = 22; tìm x.
Trạm 3 (sửa sai và chứng minh): Bài 7: Tam giác có ba cạnh 8 cm, 10 cm, 12 cm; cạnh dài nhất của tam giác nối trung điểm là bao nhiêu? Bài 8: Phát hiện và sửa sai: “Đường qua trung điểm một cạnh luôn chia đôi cạnh khác.” Bài 9: D, E, F lần lượt là trung điểm AB, BC, CA; chứng minh ADEF là hình bình hành.
HS có thể kiểm tra đáp án các bài tương tác trên trang NeoEdu sau khi nhóm hoàn thành.

Đáp án và lời giải tóm tắt:
Bài 1: MN là đường trung bình khi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC; chỉ AM = MB chưa đủ.
Bài 2: Đáp án B, MN = BC/2 = 9 cm.
Bài 3: Cạnh song song có độ dài 2 × 7 = 14 cm.
Bài 4: AM = 16/2 = 8 cm.
Bài 5: Sai. Các cạnh của tam giác nối trung điểm bằng một nửa cạnh tương ứng nên chu vi mới bằng 42/2 = 21 cm.
Bài 6: 3x − 1 = 22/2 = 11, suy ra x = 4.
Bài 7: Các cạnh của tam giác trung bình là 4, 5, 6 cm; cạnh dài nhất là 6 cm.
Bài 8: Sai ở chỗ thiếu điều kiện. Đúng là: đường qua trung điểm một cạnh và song song cạnh thứ ba thì chia đôi cạnh còn lại. Chấm: xác định đúng vấn đề (0,25); lập luận đúng (0,5); kết luận đúng điều kiện (0,25).
Bài 9: DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE song song AC và DE = AC/2; F là trung điểm AC nên AF = AC/2 và AF nằm trên AC. Vì $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AF}$ nên ADEF là hình bình hành.

HS vận dụng đường trung bình để mô hình hoá và giải quyết một tình huống thực tế; biết kiểm tra điều kiện và trình bày lập luận.

Tình huống: Hai điểm A và B nằm ở hai bờ đối diện của một cái ao, không đo trực tiếp được khoảng cách AB. Người ta chọn điểm C ở vị trí thuận tiện, đo được các khoảng cách từ C tới A và B, lấy M là trung điểm CA và N là trung điểm CB, rồi đo được MN = 30 m. Hãy tính AB và nêu rõ các điều kiện cần kiểm tra.
Nhiệm vụ: (1) Vẽ hình mô hình hoá bằng tam giác ABC. (2) Xác định đường trung bình và tính AB. (3) Nêu điều kiện cần kiểm tra để kết quả đúng. Nhiệm vụ mở rộng: nếu đo được MN = 30 m nhưng biết AC = 50 m thì có cần kiểm tra điều gì khác không?

Mô hình: tam giác ABC với M, N là trung điểm CA, CB; MN là đường trung bình nên $MN \parallel AB$ và $MN=\dfrac{AB}{2}$.
Tính toán: $AB = 2 \cdot MN = 2 \cdot 30 = 60$ m.
Điều kiện cần kiểm tra: M và N phải thực sự là trung điểm (đo CM = MA và CN = NB); A, B, C không thẳng hàng (tạo thành tam giác).
Nhiệm vụ mở rộng: không cần đo thêm AC để tính AB; AC chỉ dùng để kiểm tra khoảng cách CM = 25 m là đúng với trung điểm.