Giáo án Bài 11. Hình thang cân

Nhận diện hình thang cân bằng quan sát và đo đạc; hình thành dự đoán về các quan hệ chung của hình thang cân.

GV vẽ lên bảng hình thang $ABCD$ với $AB \parallel CD$ và $AD=BC$ (hình thang cân), đồng thời vẽ một hình thang thường để đối chiếu. HS dùng thước đo góc và thước thẳng đo các góc $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, $\widehat{D}$, các cạnh bên $AD$, $BC$ và hai đường chéo $AC$, $BD$ của hình thang cân. Câu hỏi: Các góc ở hai đáy có quan hệ gì? Hai cạnh bên và hai đường chéo có quan hệ gì? Các quan hệ đó có đúng với mọi hình thang cân không?

HS nhận thấy (với sai số đo đạc nhỏ): $\widehat{A}=\widehat{B}$, $\widehat{C}=\widehat{D}$, $AD=BC$, $AC=BD$. Khi đo hình thang thường, các quan hệ này không xảy ra. HS nêu được câu hỏi cần giải quyết: Vì sao các quan hệ đó luôn đúng với mọi hình thang cân?

Nêu được định nghĩa hình thang cân; giải thích được các tính chất: hai góc kề một đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.

HS làm việc theo nhóm 3 theo kĩ thuật mảnh ghép, hoàn thành Phiếu học tập số 1. Mỗi thành viên được giao một nhiệm vụ chứng minh. Nhiệm vụ 1: cho hình thang $ABCD$ với $AB \parallel CD$ và $\widehat{A}=\widehat{B}$, chứng minh $\widehat{C}=\widehat{D}$. Nhiệm vụ 2: chứng minh $AD=BC$ (kẻ $DH \perp AB$, $CK \perp AB$ với $H$, $K$ thuộc $AB$). Nhiệm vụ 3: chứng minh $AC=BD$ (xét hai tam giác $ABD$ và $BAC$).

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Lời giải gợi ý:

• Nhiệm vụ 1: vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ$ và $\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ$. Do $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên $\widehat{C}=\widehat{D}$.
• Nhiệm vụ 2: vì $DH \perp AB$, $CK \perp AB$ nên $DHKC$ là hình chữ nhật, suy ra $DH=CK$. Xét hai tam giác vuông $ADH$ và $BCK$ có $DH=CK$ và $\widehat{A}=\widehat{B}$, suy ra $\triangle ADH=\triangle BCK$, do đó $AD=BC$.
• Nhiệm vụ 3: xét $\triangle ABD$ và $\triangle BAC$ có $AB$ chung, $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$ (vì $\widehat{A}=\widehat{B}$), $AD=BC$. Suy ra $\triangle ABD=\triangle BAC$ (c.g.c), do đó $AC=BD$.
  Kết luận HS ghi: trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.

Nêu được dấu hiệu nhận biết: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân; phân biệt được điều kiện đủ với điều kiện chưa đủ (hai cạnh bên bằng nhau).

HS làm việc theo cặp, hoàn thành Phiếu học tập số 2. Cho hình thang $ABCD$ với $AB \parallel CD$ và $AC=BD$. Câu hỏi 1: Hình thang này có phải hình thang cân không? Câu hỏi 2: Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $BD$, cắt đường thẳng $AB$ tại $E$. Chứng minh $CE=AC$ và suy ra $\widehat{A}=\widehat{B}$. Câu hỏi 3: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có chắc là hình thang cân không? Hãy xét hình bình hành.

Dấu hiệu: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lập luận gợi ý: vì $CE \parallel BD$ và $BE \parallel CD$ nên $BDCE$ là hình bình hành, suy ra $CE=BD=AC$. Tam giác $ACE$ cân tại $C$ nên $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$. Vì $CE \parallel BD$ nên $\widehat{CEA}=\widehat{DBA}$ (đồng vị), suy ra $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}$. Xét $\triangle ABC$ và $\triangle BAD$ có $AB$ chung, $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}$, $AC=BD$, suy ra $\triangle ABC=\triangle BAD$ (c.g.c), do đó $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$, tức là $\widehat{A}=\widehat{B}$. Hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau nên là hình thang cân.
Phản ví dụ: hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau nhưng hai góc kề một đáy không bằng nhau, nên không phải hình thang cân. Kết luận: chỉ có "hai cạnh bên bằng nhau" chưa đủ để kết luận hình thang cân.

Vận dụng tính chất hình thang cân để tính số đo góc, độ dài cạnh, đường chéo và chu vi; phát hiện và sửa lỗi sai trong lập luận.

HS làm việc theo nhóm 4 với kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi HS làm riêng một câu, sau đó so sánh và thống nhất đáp án trên khăn chung. Các câu hỏi: Bài 2, 3, 4, 5, 6, 7 (đề và đáp án ghi trong phần sản phẩm). Bài 8 và 9 để thảo luận, nhóm nêu kết luận và lập luận. HS kiểm tra lại đáp án bằng bài tập tương tác trên trang NeoEdu nếu có thời gian.

Đáp án và lời giải ngắn:

• Bài 2: hình thang cân có $\widehat{A}=65^\circ$, góc kề cùng đáy $AB$ là $\widehat{B}=65^\circ$. Đáp án B.
• Bài 3: $AB\parallel CD$, $\widehat{A}=70^\circ$ thì $\widehat{D}=180^\circ-70^\circ=110^\circ$. Kết quả: 110.
• Bài 4: hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau nên $BD=AC=13$ cm. Kết quả: 13.
• Bài 5: chu vi $=6+12+5+5=28$ cm. Bạn trả lời 29 là sai.
• Bài 6: góc đáy lớn bằng $55^\circ$ thì góc đáy nhỏ bằng $180^\circ-55^\circ=125^\circ$. Kết quả: 125.
• Bài 7: $\widehat{A}=2\widehat{D}$ và $\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ$ nên $3\widehat{D}=180^\circ$, $\widehat{D}=60^\circ$. Kết quả: 60.
• Bài 8: khẳng định sai. Phản ví dụ là hình bình hành xiên có hai cạnh bên bằng nhau nhưng góc đáy khác nhau. Sửa lại: hình thang có hai đường chéo bằng nhau hoặc có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Bài 9: $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$ và $AC=BD$ nên $ABCD$ là hình thang cân. Với $\widehat{A}=75^\circ$: $\widehat{D}=180^\circ-75^\circ=105^\circ$, do đó $\widehat{C}=\widehat{D}=105^\circ$.

Vận dụng dấu hiệu hai đường chéo bằng nhau để kiểm tra một khung hình thang cân trong thực tế; mô hình hoá tình huống bằng hình thang và đưa ra kết luận có căn cứ.

HS làm việc theo nhóm 4, đóng vai nhóm thợ kiểm tra khung cửa. Tình huống: Một khung cửa có dạng hình thang, hai cạnh đáy song song. Nhóm đo hai đường chéo của khung cửa và đo hai cạnh bên. Nhiệm vụ: (1) Mô hình hoá khung cửa bằng hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$; (2) Đề xuất cách kiểm tra khung là hình thang cân dựa trên đường chéo; (3) Viết kết luận và giải thích vì sao không kết luận chỉ bằng cạnh bên. Với tình huống có số liệu: hai đường chéo đo được $AC=1{,}80$ m và $BD=1{,}78$ m. Nhóm nhận xét và kết luận.

Mô hình: khung cửa là hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$.
Cách kiểm tra: đo hai đường chéo $AC$ và $BD$. Nếu $AC=BD$ thì khung là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết.
Kết luận với số liệu: $AC=1{,}80$ m khác $BD=1{,}78$ m nên khung chưa phải hình thang cân (sai số $0{,}02$ m là đáng kể khi lắp đặt); cần điều chỉnh khung rồi đo lại.
Giải thích: chỉ đo hai cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ, vì có thể là hình bình hành, khi đó góc đáy không bằng nhau.