Giáo án Bài 8. Bài tập cuối chương IX

Nhận diện nhanh các hiểu nhầm thường gặp về góc–cạnh đối diện, bất đẳng thức tam giác, trọng tâm; từ đó xác định nhiệm vụ ôn tập của hai tiết.

GV chiếu bốn mệnh đề và yêu cầu HS giơ thẻ Đ (đúng) hoặc S (sai), đồng thời nêu ngắn gọn lí do:
(1) Trong $\triangle ABC$, góc $A$ đối diện cạnh $AB$.
(2) Ba đoạn thẳng $3$ cm, $4$ cm, $7$ cm là ba cạnh của một tam giác.
(3) Trong các đoạn nối từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$, đoạn vuông góc $AH$ là đoạn ngắn nhất.
(4) Trọng tâm $G$ chia trung tuyến $AM$ thành hai đoạn bằng nhau: $AG=GM$.
Câu hỏi GV đặt ra: “Em chọn đúng hay sai vì lí do gì? Trong $\triangle ABC$, cạnh nào đối diện góc $A$?”

Đáp án dự kiến: (1) S, vì góc $A$ đối diện cạnh $BC$, không phải $AB$. (2) S, vì $3+4=7$ không lớn hơn $7$ nên không tạo được tam giác. (3) Đ, vì đoạn vuông góc là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và ngắn hơn mọi đoạn xiên. (4) S, vì $AG=\dfrac{2}{3}AM$ và $AG=2GM$, không phải chia đôi.
Kết luận nhiệm vụ: ôn lại quan hệ góc–cạnh, đường vuông góc–đường xiên, bất đẳng thức tam giác và bốn điểm đồng quy; luyện tập 10 bài trắc nghiệm và điền khuyết.

Hệ thống hoá quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác và quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên; vận dụng để so sánh độ dài đoạn thẳng.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, gồm hai phần:
(a) Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=50^\circ$, $\widehat{B}=70^\circ$. Tính $\widehat{C}$, rồi sắp xếp ba cạnh $BC$, $AB$, $AC$ theo thứ tự tăng dần.
(b) Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$, $AH\perp d$ tại $H$; $B$, $C$ thuộc $d$ sao cho $HB=3$ cm, $HC=5$ cm, $AH=2$ cm. So sánh $AB$ với $AC$; so sánh $AH$ với $AB$.
Câu hỏi GV đặt ra: “Cạnh nào đối diện góc $A$? Vì sao không được so sánh $BC$ với $AB$ chỉ vì cùng có chữ $B$?”

(a) $\widehat{C}=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$. Vì $50^\circ<60^\circ<70^\circ$ nên các cạnh đối diện tăng theo: cạnh đối diện $A$ là $BC$, đối diện $C$ là $AB$, đối diện $B$ là $AC$. Vậy $BC<AB<AC$.
(b) Hình chiếu $HB=3$ cm nhỏ hơn $HC=5$ cm nên đường xiên $AB$ nhỏ hơn đường xiên $AC$: $AB<AC$. Đoạn vuông góc $AH=2$ cm ngắn hơn $AB$.
Kiến thức rút ra: Trong một tam giác, góc lớn hơn đối diện cạnh lớn hơn; đoạn vuông góc là đoạn ngắn nhất từ điểm đến đường thẳng; đường xiên lớn hơn khi hình chiếu lớn hơn.

Nêu và vận dụng được bất đẳng thức tam giác $|a-b|<c<a+b$ để kiểm tra ba độ dài có tạo thành tam giác không và tìm khoảng giá trị của cạnh thứ ba.

HS làm việc theo cặp đôi, thảo luận và trả lời các câu hỏi:
(a) Trong các bộ ba độ dài sau, bộ nào tạo được tam giác: $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm; $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm; $1$ cm, $1$ cm, $3$ cm?
(b) Cho một tam giác có hai cạnh $7$ cm và $9$ cm. Tìm khoảng giá trị của cạnh thứ ba $x$ và cho biết có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$.
Câu hỏi GV đặt ra: “Muốn kiểm tra ba độ dài, em chỉ cần xét tổng của hai cạnh nào? Vì sao?”

(a) Bộ $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm tạo được tam giác vì $3+4>5$, $3+5>4$, $4+5>3$. Bộ $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm không tạo được tam giác vì $2+3=5$ không lớn hơn $5$. Bộ $1$ cm, $1$ cm, $3$ cm không tạo được tam giác vì $1+1<3$.
(b) Từ $9-7<x<9+7$ suy ra $2<x<16$. Các giá trị nguyên của $x$ là $3, 4, \ldots, 15$, tức có $13$ giá trị.
Kiến thức rút ra: Chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh nhỏ có lớn hơn cạnh lớn nhất; cạnh thứ ba nằm strictly giữa hiệu và tổng hai cạnh còn lại.

Nêu được tính chất của trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, điểm cách đều ba đỉnh và trực tâm; phân biệt được các điểm này và vận dụng tỉ lệ $2:1$ của trọng tâm.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, gồm:
(a) Hoàn thành bảng so sánh bốn điểm: tên điểm, là giao của đường nào, tính chất đặc trưng.
(b) Tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM=21$ cm, $G$ là trọng tâm. Tính $AG$.
(c) Trên trung tuyến $AM$ có $GM=7$ cm. Tính $AG$.
Câu hỏi GV đặt ra: “Điểm nào cách đều ba cạnh? Điểm nào cách đều ba đỉnh? Vì sao không được nhầm hai tính chất này?”

(a) Bảng dự kiến:

• Trọng tâm $G$: giao ba trung tuyến; $AG=2GM$, $AG=\dfrac{2}{3}AM$.
• Tâm đường tròn nội tiếp $I$: giao ba đường phân giác trong; cách đều ba cạnh.
• Điểm $O$: giao ba đường trung trực; cách đều ba đỉnh, $OA=OB=OC$.
• Trực tâm $H$: giao ba đường cao; với tam giác vuông, $H$ là đỉnh góc vuông.
  (b) $AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\cdot 21=14$ cm.
  (c) $AG=2GM=2\cdot 7=14$ cm.
  Kiến thức rút ra: $G$ chia trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh, không phải chia đôi.

Củng cố quan hệ góc–cạnh, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và các điểm đồng quy qua bài tập trắc nghiệm; tự kiểm tra đáp án bằng học liệu NeoEdu.

HS làm việc cá nhân rồi đối chiếu trong cặp đôi các bài sau:
Bài 1. Trong $\triangle ABC$, cạnh đối diện góc $A$ là: A. $AB$; B. $AC$; C. $BC$; D. Đường cao $AH$.
Bài 2. Khoảng cách từ $A$ đến $d$ là độ dài: A. Đường xiên bất kì; B. Đường vuông góc $AH$ với $H\in d$; C. Đường song song $d$ qua $A$; D. Một đoạn trên $d$.
Bài 3. Bộ độ dài nào tạo thành tam giác? A. $2,3,5$; B. $2,3,6$; C. $3,4,5$; D. $1,1,3$.
Bài 4. Trung tuyến $AM=21$ cm, $G$ là trọng tâm. Tính $AG$.
Bài 5. Giao ba đường trung trực của tam giác là điểm cách đều: A. Ba cạnh; B. Ba đỉnh; C. Ba chân đường cao; D. Ba trọng tâm.
Câu hỏi GV đặt ra: “Em chọn đáp án nào và dựa vào tính chất nào?”

Đề và đáp án:
Bài 1: C. $BC$, cạnh không chứa đỉnh $A$.
Bài 2: B. Đường vuông góc $AH$, vì khoảng cách lấy theo đoạn vuông góc.
Bài 3: C. $3,4,5$, vì $3+4>5$; các bộ còn lại có tổng hai cạnh nhỏ không lớn hơn cạnh lớn nhất.
Bài 4: $AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\cdot 21=14$ cm.
Bài 5: B. Ba đỉnh, vì mỗi trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của cạnh.
Sau khi làm xong, HS quét mã hoặc mở trang NeoEdu để kiểm tra lại đáp án.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác để tìm khoảng giá trị và cạnh nguyên; nhận biết trực tâm và trọng tâm qua bài tập điền khuyết và trắc nghiệm.

HS làm việc nhóm 4, mỗi nhóm hoàn thành các bài sau trên bảng nhóm:
Bài 6. $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=40^\circ$, $\widehat{B}=60^\circ$, $\widehat{C}=80^\circ$. Sắp xếp ba cạnh tăng dần.
Bài 7. Từ $A$ ngoài đường thẳng $d$, $H$ là chân đường vuông góc trên $d$, $B\in d$, $B\ne H$. So sánh $AH$ và $AB$: A. $AH>AB$; B. $AH=AB$; C. $AH<AB$; D. Không thể so sánh.
Bài 8. Hai cạnh của một tam giác là $7$ và $9$. Cạnh thứ ba $x$ thỏa mãn $\_\_ < x < \_\_$. Điền hai số còn thiếu.
Bài 9. $G$ là trọng tâm, $GM=7$ cm trên trung tuyến $AM$. Tính $AG$.
Bài 10. Trực tâm là giao của: A. Ba trung tuyến; B. Ba phân giác; C. Ba đường cao; D. Ba trung trực.
Câu hỏi GV đặt ra: “Ở bài 6, cạnh nào đối diện góc lớn nhất? Ở bài 8, hiệu và tổng của hai cạnh đã cho bằng bao nhiêu?”

Đáp án:
Bài 6: $\widehat{A}<\widehat{B}<\widehat{C}$ nên $BC<AC<AB$.
Bài 7: C. $AH<AB$, vì đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên cùng xuất phát từ $A$.
Bài 8: $2<x<16$; điền $2$ và $16$ (hiệu $9-7=2$, tổng $9+7=16$).
Bài 9: $AG=2GM=2\cdot 7=14$ cm.
Bài 10: C. Ba đường cao, đồng quy tại trực tâm.
Kiến thức rút ra: đoạn vuông góc ngắn nhất; cạnh thứ ba nằm giữa hiệu và tổng hai cạnh; $AG=2GM$.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất điểm cách đều ba đỉnh để giải bài toán thực tế; trình bày lời giải có lập luận và kiểm tra kết quả.

Tình huống: Một khung sắt có dạng tam giác với ba thanh dài $5$ dm, $7$ dm và $x$ dm. Các bạn muốn chọn độ dài nguyên của thanh thứ ba để khung dựng được.
Câu hỏi 1: Tìm các giá trị nguyên có thể của $x$.
Câu hỏi 2: Một đội muốn đặt một trạm nước cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ (ba điểm không thẳng hàng). Trạm nằm ở đâu, và vì sao?
HS làm theo nhóm, trình bày lời giải vào bảng nhóm; về nhà hoàn thiện câu hỏi 2 bằng hình vẽ trên giấy kẻ ô.
Câu hỏi GV đặt ra: “Vì sao không được chọn $x=2$ dm?” và “Điểm cách đều ba đỉnh là giao của đường nào?”

Câu hỏi 1: Từ $7-5<x<7+5$ suy ra $2<x<12$. Các giá trị nguyên là $3, 4, \ldots, 11$ dm, tức có $9$ giá trị. Không chọn $x=2$ vì $2+5=7$ không lớn hơn $7$, ba thanh không dựng được khung tam giác.
Câu hỏi 2: Điểm cách đều ba đỉnh là giao của ba đường trung trực của các cạnh $AB$, $BC$, $CA$, kí hiệu là $O$, với $OA=OB=OC$. Vị trí $O$ có thể nằm trong, trên hoặc ngoài tam giác tùy loại góc; trạm đặt tại $O$.
Kiến thức rút ra: điều kiện tam giác quyết định khả năng dựng khung; điểm cách đều ba đỉnh là giao ba đường trung trực.