Giáo án Bài 7. Tập hợp các số thực

HS nhớ lại số hữu tỉ, nhận ra trên trục số còn những điểm không biểu diễn được bằng phân số, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV trình chiếu các số: $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{4}$, $0{,}25$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{2}$. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Số nào viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a, b\in\mathbb{Z}$, $b\ne 0$? (2) Số $\sqrt{2}$ có phải là phân số không? Vì sao? (3) Trên trục số có những điểm nào mà ta chưa biết gọi tên bằng số hữu tỉ?

HS trả lời: $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{4}$, $0{,}25$, $\sqrt{9}=3$ là số hữu tỉ. Số $\sqrt{2}$ không viết được dưới dạng phân số, vì nếu viết được thì bình phương sẽ là một số hữu tỉ, trái với $(\sqrt{2})^2=2$ có thể chứng minh không thể là bình phương của số hữu tỉ (ở mức độ trực quan, HS chỉ cần nêu được $\sqrt{2}$ không phải phân số). Kết luận nhiệm vụ: Tìm tập hợp chứa cả số hữu tỉ và các số như $\sqrt{2}$, học cách so sánh và tính giá trị tuyệt đối trong tập hợp đó.

HS nêu được tập hợp số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ, giải thích được mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực.

HS làm việc nhóm 4 theo Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (1) Phân loại các số $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{4}$, $0{,}25$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{2}$ vào hai nhóm: số hữu tỉ và số vô tỉ. (2) Quan sát trục số và trả lời: tại sao mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực? (3) Xem trang bài học số NeoEdu, phần bài giảng về tập số thực để kiểm tra kết luận. GV chia nhóm và phát phiếu.

Kết quả phân loại: Số hữu tỉ: $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{4}$, $0{,}25$, $\sqrt{9}$ (vì $\sqrt{9}=3$). Số vô tỉ: $\sqrt{2}$.
Kiến thức HS rút ra: Tập hợp số thực $\mathbb{R}$ gồm số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ và số vô tỉ; $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực, và ngược lại mỗi số thực ứng với đúng một điểm trên trục số.

HS so sánh được hai số thực bằng ba cách: dạng thập phân, vị trí trên trục số, bình phương khi hai số không âm.

HS làm Phiếu học tập số 2, phần A: So sánh $\sqrt{5}$ và $2$; sắp xếp các số $-\sqrt{9}$, $-1{,}5$, $0$, $\sqrt{2}$ theo thứ tự tăng dần. GV hướng dẫn nhóm thảo luận: Khi nào nên so sánh bằng thập phân? Khi nào nên so sánh bằng bình phương? Khi nào dùng trục số? Câu hỏi GV đặt ra: (1) Vì sao $\sqrt{5}>2$ khi chỉ biết $5>4$? (2) Số âm nằm ở đâu so với 0 trên trục số?

Kết quả: $\sqrt{5}>2$ vì $(\sqrt{5})^2=5>4=2^2$ và cả hai số đều không âm.
Sắp xếp: $-\sqrt{9}<-1{,}5<0<\sqrt{2}$, tức $-3<-1{,}5<0<\sqrt{2}$.
Kiến thức HS rút ra: Với hai số không âm, số có bình phương lớn hơn thì lớn hơn. Trên trục số, số nằm bên phải lớn hơn. Số âm luôn nhỏ hơn 0.

HS nêu được định nghĩa giá trị tuyệt đối, tính được giá trị tuyệt đối của số thực và làm tròn số với độ chính xác cho trước.

GV trình bày khái niệm: $|x|$ là khoảng cách từ điểm $x$ tới $0$; $|x|=x$ khi $x\ge 0$, $|x|=-x$ khi $x<0$. Ví dụ: tính $|-2{,}4|-|1{,}1|$. HS làm Phiếu học tập số 2, phần B: (1) Vì sao $|x|\ge 0$ nhưng $x$ có thể âm? (2) Làm tròn $\sqrt{2}\approx 1{,}41421$ đến hàng phần trăm và đến hàng phần mười; kiểm tra sai số có vượt yêu cầu không. (3) Phân biệt: $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ là gần đúng, còn $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ là bằng chính xác.

Ví dụ: $|-2{,}4|-|1{,}1|=2{,}4-1{,}1=1{,}3$.
Kiến thức HS rút ra: $|x|$ là khoảng cách từ $x$ tới 0 nên luôn không âm; $x$ có thể âm (ví dụ $|-3|=3$). Làm tròn $\sqrt{2}$ đến hàng phần trăm được $1{,}41$ (sai số khoảng $0{,}002$); đến hàng phần mười được $1{,}4$ (sai số khoảng $0{,}014$). Chọn hàng làm tròn sao cho sai số không vượt yêu cầu đề bài; phân biệt bằng chính xác và bằng gần đúng.

HS vận dụng được tập hợp số thực, so sánh và giá trị tuyệt đối để giải các bài tập cơ bản; phát hiện và sửa được quan niệm sai.

HS làm việc cá nhân 5 phút, sau đó đổi vở kiểm tra chéo với bạn cùng bàn. Đề bài: (1) Tính $|-2{,}5|$. (2) Quan hệ tập hợp đúng là: A. $\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}$; B. $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$; C. $\mathbb{R}=\mathbb{Q}$; D. $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$. (3) Tính $|-2|+|3|$. (4) Sắp xếp tăng dần: $-\sqrt{9}$, $-1{,}5$, $0$, $\sqrt{2}$. (5) Xét đúng hay sai: a) $|-3|=-3$; b) $|x|=0$ chỉ khi $x=0$; c) $\sqrt{5}>2$. (6) Hai số có giá trị tuyệt đối bằng 4 là? (7) Nhiệt độ tăng từ $-2\,^\circ\mathrm{C}$ lên $5\,^\circ\mathrm{C}$, tăng bao nhiêu độ?

Đáp án: (1) $2{,}5$. (2) B, vì mọi số hữu tỉ đều là số thực, còn $\mathbb{R}$ có thêm số vô tỉ. (3) $5$, vì $2+3=5$. (4) $-\sqrt{9}<-1{,}5<0<\sqrt{2}$ (vì $-\sqrt{9}=-3$). (5) a) S, vì $|-3|=3$; b) Đ, khoảng cách bằng 0 khi trùng 0; c) Đ, vì $5>4$ nên $\sqrt{5}>2$. (6) $-4$ và $4$, vì cả hai cách 0 bốn đơn vị. (7) $7\,^\circ\mathrm{C}$, vì $5-(-2)=7$.

HS vận dụng kiến thức về tập số thực để phản biện một khẳng định sai, dựng được đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{2}$, thể hiện giải quyết vấn đề và giao tiếp toán học.

Bạn Minh nói: 'Số vô tỉ không thể đặt trên trục số vì nó không viết hết được dưới dạng thập phân.' Nhiệm vụ nhóm: (1) Nêu lập luận phản biện Minh. (2) Mô tả cách dựng đoạn thẳng có độ dài $\sqrt{2}$ bằng compa và thước, dựa trên định lý Pythagore cho tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1. (3) Nhận xét: không viết hết thập phân có nghĩa là không tồn tại điểm trên trục số hay không? Có thể làm bài này ở nhà nếu hết giờ.

Lập luận phản biện: $\sqrt{2}$ là số thực nên có đúng một điểm trên trục số biểu diễn. Việc số không viết hết được dạng thập phân không có nghĩa là số đó không tồn tại; $\sqrt{2}$ vẫn xác định được.
Cách dựng: vẽ hình vuông cạnh 1, đường chéo có độ dài $\sqrt{2}$ (theo định lý Pythagore $1^2+1^2=2$). Dùng compa lấy đoạn này đặt lên trục số bắt đầu từ 0 sẽ được điểm biểu diễn $\sqrt{2}$.
Kết luận: Khẳng định của Minh là sai; mọi số thực, kể cả số vô tỉ, đều có điểm tương ứng trên trục số.